Περίεργα φυσικός

orestisgotsis · #1

Περιττό

Ορέστης Λιγνός · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 4:42 pm
Οι αριθμοί ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}},\,\,\ldots ,\,\,{{a}_{n}}$ προκύπτουν από τους ${{a}_{0}}=0,\,\,{{a}_{1}}=1$ και της αναδρομικής σχέσης

${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$ για $n\ge 2$ . Να δειχθεί ότι η $\displaystyle\sqrt[3]{2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}+{{(-1)}^{n}}}$ είναι φυσικός αριθμός.

Μία... ταχυδακτυλουργική λύση

Αρχικά, γράφουμε (F_n)

αντί για

. Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: Είναι $2F_n^6-2F_{n-1}^6+(-1)^n=(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3$ .
Απόδειξη: Προχωρούμε επαγωγικά. Για n=1

προφανώς ισχύει. Έστω πως ισχύει ότι

$2F_n^6-2F_{n-1}^6+(-1)^n=(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3$ (1), και θα αποδείξουμε ότι

$2F_{n+1}^6-2F_{n}^6+(-1)^{n+1}=(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n}-F_{n}^2)^3$ (2).

Πολλαπλασιάζουμε την σχέση (1) με

, οπότε προκύπτει ότι

$2F_{n-1}^6-2F_n^6+(-1)^{n+1}=-(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3$ (3),

συνεπώς αφαιρώντας τις σχέσεις (1) και (3) κατά μέλη αρκεί να αποδείξουμε ότι

$2F_{n+1}^6-2F_{n-1}^6=(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n}-F_{n}^2)^3+(F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2)^3$ .

Θέτουμε $F_{n-1}=a$ και F_n=b

, οπότε $F_{n+1}=a+b$ . Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι

2(a+b)^6-2a^6=((a+b)^2+(a+b)a-a^2)^3+(b^2+ba-a^2)^3,

το οποίο με εύκολες (!) πράξεις αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει $\blacksquare$

Σαφώς από τον Ισχυρισμό το ζητούμενο γίνεται προφανές, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

orestisgotsis · #3

Περιττό

#4

Ας μου επιτραπεί ένα επιπλέον ερώτημα. Για την παραπάνω ακολουθία $\displaystyle {a_n},n \geqslant 1,$ να δείξετε ότι

οι αριθμοί $\displaystyle {a_{2n + 3}},{a_n} \cdot {a_{n + 3}},2{a_{n + 1}} \cdot {a_{n + 2}}$ είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.

orestisgotsis · #5

Περιττό

ksofsa · #6

Καλησπέρα.

Μια άλλη προσέγγιση:

$a_{2n+3}^2-(2a_{n+1}a_{n+2})^2=(a_{n+1}^2+a_{n+2}^2)^2-4a_{n+1}^2a_{n+2}^2=$

$=(a_{n+2}^2-a_{n+1}^2)^2=(a_{n+2}-a_{n+1})^2(a_{n+2}+a_{n+1})^2=a_{n}^2a_{n+3}^2$ .

Επομένως:

$a_{2n+3}^2=(2a_{n+1}a_{n+2})^2+(a_{n}a_{n+3})^2$ .

Περίεργα φυσικός

Περίεργα φυσικός

Re: Περίεργα φυσικός

Re: Περίεργα φυσικός

Re: Περίεργα φυσικός

Re: Περίεργα φυσικός

Re: Περίεργα φυσικός

Μέλη σε σύνδεση