Ανισότητα με τρεις μεταβλητές

#1

Έστω

θετικοί αριθμοί με p+q+r=3

. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\dfrac {p}{p^2+qr+1} + \dfrac {q}{q^2+rp+1}+ \dfrac {r}{r^2+pq+1}\le 1}$

vgreco · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2024 5:39 pm
Έστω θετικοί αριθμοί με . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\dfrac {p}{p^2+qr+1} + \dfrac {q}{q^2+rp+1}+ \dfrac {r}{r^2+pq+1}\le 1}$

Έχουμε:
$\displaystyle{ \begin{aligned} \sum \dfrac{p}{p^2 + qr + 1} &\le \sum \dfrac{p}{2p + qr} \\[0.06in] &= \dfrac{1}{2} \sum \dfrac{2p}{2p + qr} \\[0.06in] &= \dfrac{1}{2} \sum \biggl( 1 - \dfrac{qr}{2p + qr} \biggr) \\[0.06in] &= \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}\sum \dfrac{ \bigl( qr \bigr)^2 }{2pqr + \bigl( qr \bigr)^2} \\[0.06in] &\le \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ \bigl( pq + qr + rp \bigr)^2}{p^2q^2 + q^2r^2 + r^2p^2 + 6pqr} \\[0.06in] &= \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot 1 = 1 \end{aligned} }$
αφού 6pqr = 2pqr(p + q + r)

. Η ισότητα ισχύει μόνο αν $\boxed{p = q = r = 1}$ .

Ανισότητα με τρεις μεταβλητές

Ανισότητα με τρεις μεταβλητές

Re: Ανισότητα με τρεις μεταβλητές

Μέλη σε σύνδεση