εφαπτόμενος περίκυκλος

#1

: Κύκλος εφαπτόμενος σε τρίγωνο.png (57.43 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου του κύκλου $\left( I \right)$ με τις πλευρές αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής της με την κάθετη στην στο σημείο επαφής (έστω ) του παρεγγεραμμένου κύκλου $\left( {{I}_{a}} \right)$ με την να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle AZK$ εφάπτεται της , όπου είναι η ορθή προβολή του μέσου της επί της

Στάθης

dement · #2

: problem.png (62.34 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

και

η προβολή του

στην

. Έστω επίσης

το έγκεντρο του $\triangle{ABC}$ . Ισχύει $\displaystyle \frac{BG}{BK} = \frac{BF}{BA}$ (επειδή $\triangle{ABF} \approx \triangle{BKG}$ ). (*)

Ισχύουν:

$\displaystyle BK = \frac{a+b-c}{2}$
$\displaystyle FK = BK - BF = \frac{a+b-c}{2} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} = \frac{\tau (b-c)}{a}$

$\displaystyle h_a = \frac{2 \tau r}{a}$

$\displaystyle KN = \frac{KL}{2} = DK \frac{a + b - c}{4r} = \frac{(b-c)(a+b-c)}{4r}$ (επειδή $\triangle{DLK} \approx \triangle{CDH}$ ).

Έτσι, $h_a \cdot KN = FK \cdot BK$ και αφού $\displaystyle \frac{h_a}{c} = \frac{GZ}{KN}$ έχουμε $\displaystyle \frac{GZ}{BK} = \frac{FK}{AB}$ .
Προσθέτοντας με την (*)

παίρνουμε $\displaystyle \frac{BZ}{BK} = \frac{BK}{AB}$ και τα $\triangle{ABK}, \triangle{BZK}$ είναι όμοια. Άρα $\angle{ZAK} = \angle{ZKB}$ και ο κύκλος (AZK)

εφάπτεται στην

.

εφαπτόμενος περίκυκλος

εφαπτόμενος περίκυκλος

Re: εφαπτόμενος περίκυκλος

Μέλη σε σύνδεση