Παραλληλίες από έκκεντρο

min## · #1

Πιθανότατα έναν φάκελο πιο κάτω (εξαρτάται από τη λύση

) αλλά σίγουρα ενδιαφέρον:
Έστω τρίγωνο ABC

,

τα μέσα των BC,AC,AB

και

οι προβολές του έκκεντρου σ'αυτές τις πλευρές αντίστοιχα.
Αν $A'\equiv LM\cap EF,B'\equiv KM\cap DF,C'\equiv KL\cap DE$ νδο AA',BB',CC'

παράλληλες.
Γενικεύστε και για τυχαίες Σεβιανές.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Λίγο βιαστικά:

Θα αποδείξω το πρόβλημα για τυχαίες σεβιανές AD, BE, CF

.

Θα δείξουμε αρχικά πως τα σημεία B', A, C'

είναι συνευθειακά.

Πρακτικά αρκεί οι διπλοί λόγοι των D(B', C'; A, C)

και

να είναι ίσοι. Όμως, πράγματι D(B', C'; A, C)=D(F, E; A, C)=-1

και

(εύκολα από σεβιανές-πλήρη τετράπλευρα).

Όμοια προκύπτουν και τα B, A', C'

συνευθειακά.

Εύκολα τώρα: $\dfrac{C'A}{AB'}=\dfrac{C'L}{LK}=\dfrac{C'A'}{A'B}$ , οπότε AA'//BB'

και όμοια βγαίνει και για την CC'

.