Επαφή από παραβολή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Καλησπέρα!
Θεωρούμε τρίγωνο $\rm ABC$ και την παραβολή με εστία την κορυφή $\rm A$ και διευθετούσα την ευθεία $\rm BC$ .
Έστω ότι η παραβολή τέμνει τις $\rm AB,AC$ στα $\rm E,D$ .
Οι εφαπτομένες τις παραβολής στα $\rm E,D$ τέμνουν την ευθεία $\rm BC$ στα $\rm Q,P$ αντίστοιχα.
Να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\rm APQ$ εφάπτεται με τον $\rm (A,B,C)$ .

: 318.PNG (34.37 KiB) Προβλήθηκε 1411 φορές

#2

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm Καλησπέρα!
Θεωρούμε τρίγωνο $\rm ABC$ και την παραβολή με εστία την κορυφή $\rm A$ και διευθετούσα την ευθεία $\rm BC$ .
Έστω ότι η παραβολή τέμνει τις $\rm AB,AC$ στα $\rm E,D$ .
Οι εφαπτομένες τις παραβολής στα $\rm E,D$ τέμνουν την ευθεία $\rm BC$ στα $\rm Q,P$ αντίστοιχα.
Να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\rm APQ$ εφάπτεται με τον $\rm (A,B,C)$ .
318.PNG

Ας βάλουμε τα πράγματα στη θέση τους:

Το συμμετρικό της εστίας παραβολής, ως προς εφαπτομένη της συμπίπτει με την προβολή του σημείου επαφής στην διευθετούσα. Εξ αυτού, άμεσα οι γωνίες PAC,BAQ είναι ορθές.

Με βάση αυτό συμπληρώνουμε το σχήμα ως εξής: προτείνουμε τις ΑΒ και AC, ώστε να επανατμησουν τον μπλε κύκλο. Φέρνουμε την εφαπτομένη του μπλε κύκλου στο Α και εύκολα πλέον δείχνουμε ότι σχηματίζει με την ΑΒ γωνία ίση με την ACB, που δείχνει ότι είναι κοινή εφαπτομενη των δύο κύκλων και η απόδειξη έγινε...

Επαφή από παραβολή

Επαφή από παραβολή

Re: Επαφή από παραβολή

Μέλη σε σύνδεση