Ίσες γωνίες

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Καλησπέρα!
Δίνεται τρίγωνο $\rm ABC$ με $\rm a^2=\dfrac{b^4+c^4}{b^2+c^2}$ και θεωρούμε $\rm Br_1,Br_2$ το πρώτο και δεύτερο αντίστοιχα σημεία $\rm Brocard$ του $\rm ABC$ .

Να δείξετε ότι $\rm \angle Br_1Br_2B=\angle C$

: 321.PNG (18.32 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

#2

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2020 2:38 pm Καλησπέρα!
Δίνεται τρίγωνο $\rm ABC$ με $\rm a^2=\dfrac{b^4+c^4}{b^2+c^2}$ και θεωρούμε $\rm Br_1,Br_2$ το πρώτο και δεύτερο αντίστοιχα σημεία $\rm Brocard$ του $\rm ABC$ .

Να δείξετε ότι $\rm \angle Br_1Br_2B=\angle C$

321.PNG

Καλησπέρα!

Για λόγους ευκολίας στην πληκτρολόγηση βάζω B_1, B_2

τα σημεία Brocard. Η BB_1

τέμνει την B_2C

στο

Αν $\omega$ η γωνία Brocard, θα χρησιμοποιήσω τον τύπο $\displaystyle \cot \omega = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4(ABC)}},$ απ' όπου έχω:

: Ίσες γωνίες.Π.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

$\displaystyle \frac{{{b^4} + {c^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + {b^2} + {c^2} = 4(ABC)\cot \omega \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = \frac{{{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}}}{{2({b^2} + {c^2})\cot \omega }}}$ (1)

Ο νόμος συνημιτόνου στο ABC

δίνει $\displaystyle \cos A = \frac{{bc}}{{{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow \sin A = \frac{{\sqrt {{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}} }}{{{b^2} + {c^2}}}$

$\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}bc\sin A\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}}}{{({b^2} + {c^2})\cot \omega }} = ({b^2} + {c^2})\cos A\sin A \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}}}{{{{({b^2} + {c^2})}^2}}}\tan \omega = \sin A\cos A \Leftrightarrow {\sin ^2}A\tan \omega = \sin A\cos A \Leftrightarrow \tan \omega = \cot A,$

απ' όπου $\displaystyle \widehat A + \omega = 90^\circ .$ Ισχυρίζομαι τώρα ότι

είναι το περίκεντρο του ABC,

(*) άρα EB_1=EB_2,

οπότε $\displaystyle {B_1}\widehat {{B_2}}E = \widehat A \Leftrightarrow {B_2}{B_1} \bot BC,$ δηλαδή το B_2DCF

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

(*) Απόδειξη: Νόμος συνημιτόνου στο ισοσκελές EBC:

$\displaystyle {a^2} = 2E{B^2}(1 + \cos 2\omega ) = 4E{B^2}co{s^2}\omega = 4E{B^2}{\sin ^2}A \Leftrightarrow EB = EC = R$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Ίσες γωνίες

Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση