Χορδή εγγεγραμμένου κύκλου διπλάσια τμήματος

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

και ο εγγεγραμμένος του κύκλος $\omega$ . Έστω

και

τα σημεία επαφής του $\omega$ με τις πλευρές

και

, αντίστοιχα, και έστω

σημείο στο ελλάσων τόξο

του $\omega$ τέτοιο ώστε $A\widehat{P}E=D\widehat{P}B$ . Έστω ότι οι ευθείες

και

τέμνουν τη χορδή

του $\omega$ στα σημεία

και

, αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι DE=2XY

.

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: Κυρ Φεβ 13, 2022 10:29 pm Δίνεται τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος του κύκλος $\omega$ . Έστω και τα σημεία επαφής του $\omega$ με τις πλευρές και , αντίστοιχα, και έστω σημείο στο ελλάσων τόξο του $\omega$ τέτοιο ώστε $A\widehat{P}E=D\widehat{P}B$ . Έστω ότι οι ευθείες και τέμνουν τη χορδή του $\omega$ στα σημεία και , αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι .

Έστω

τα μέσα των EF,FD

, αντίστοιχα. Τότε, αφού η

είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο PEF

, ισχύει $\angle APE=\angle MPF$ , και όμοια $\angle DPB=\angle NPF$ . Συνεπώς,

$\angle NPF=\angle DPB=\angle APE \equiv \angle XPE$ και

$\angle PEX \equiv \angle PED=\angle PFD \equiv \angle PFN$ ,

άρα ισχύει $PEX \sim PFN$ και όμοια $PYD \sim PFM$ .

Οπότε, $\dfrac{EX}{FN}=\dfrac{EP}{PF}$ , δηλαδή $EX=\dfrac{FD \cdot EP}{2PF}$ και όμοια $YD=\dfrac{EF \cdot PD}{2PF}$ . Οπότε, είναι

$XY=ED-EX-YD=ED-\dfrac{FD \cdot EP+EF \cdot PD}{2PF}=ED-\dfrac{ED \cdot PF}{2PF}=ED-\dfrac{ED}{2}=\dfrac{ED}{2},$

με την τρίτη ισότητα να προκύπτει από το Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο PEFD

. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#3

Καλημέρα, Ορέστη!

Πολύ ωραία! Έχω δει ακόμα δυο λύσεις του θέματος αυτού, οπότε θα αναμένω λίγο ακόμα, ελπίζοντας να δούμε περισσότερες λύσεις κι εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Χορδή εγγεγραμμένου κύκλου διπλάσια τμήματος

Χορδή εγγεγραμμένου κύκλου διπλάσια τμήματος

Re: Χορδή εγγεγραμμένου κύκλου διπλάσια τμήματος

Re: Χορδή εγγεγραμμένου κύκλου διπλάσια τμήματος

Μέλη σε σύνδεση