Αντιστροφή ανίσων κύκλων

#1

Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις :

1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και

2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου .

Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος

, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής

Σχήμα απαραίτητο σε όλες τις περιπτώσεις – Επιθυμητά δυναμικά αρχεία .

#2

Doloros έγραψε: Τετ Ιαν 17, 2024 4:37 pm Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις :

1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και

2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου .

Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος , να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής

Επαναφορά, χωρίς περιορισμούς

#3

Doloros έγραψε: Τετ Ιαν 17, 2024 4:37 pm Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις :

1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και

2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου .

Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος , να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής

Σχήμα απαραίτητο σε όλες τις περιπτώσεις – Επιθυμητά δυναμικά αρχεία .

Νίκο καλημέρα...

Και οι δυο περιπτώσεις μελετώνται ενιαία στο ακόλουθο σχήμα:

: Αντιστροφή α.png (34.68 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Έστω ότι έχουμε δυο κύκλους άνισους και ο ένας εκτός του άλλου, όπως
φαίνονται στο ανωτέρω σχήμα.
Είναι γνωστό ότι ο εξωτερικό κέντρο ομοιότητας $\displaystyle{I}$ αυτών είναι και το κέντρο
της αντιστροφής που οδηγεί τον ένα πάνω στον άλλο.
Εύκολα από την ομοιοθεσία προκύπτει:

$\displaystyle{(IA)=\frac{dr}{R-r} \ \ (1) }$

όπου $\displaystyle{d=(KL) }$ η διάκεντρος των δύο κύκλων $\displaystyle{(K, r)}$ και $\displaystyle{(L, R)}$

Επειδή ζητούμε την αντιστροφή που οδηγεί τον πρώτο στο δεύτερο τότε η εικόνα

του σημείου $\displaystyle{A}$ θα είναι το σημείο $\displaystyle{D}$ . Άρα η δύναμη αντιστροφής θα είναι:

$\displaystyle{n^2=(IA)(ID) \ \ (2) }$

Επομένως ο κύκλος αντιστροφής θα είναι ο $\displaystyle{(I,n)}$ .

Σημείωση:
Αν οι κύκλοι τέμντονται τότε η δύναμη αντιστροφής
θα είναι το τετράγωνο του τμήματος που ενώνει το
κέντρο της αντιστροφής με ένα από τα κοινά σημεία.

Όλα τα ανωτέρω μπορείτε να τα δείτε στο ακόλουθο δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/une5wnhz

Κώστας Δόρτσιος

#4

Κώστα Ευχαριστώ πολύ

#5

Doloros έγραψε: Τετ Ιαν 17, 2024 4:37 pm Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις :

1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και

2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου .

Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος , να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής

Έστω δύο άνισοι κύκλοι , $\left( {K,r} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,R} \right)\,,\,\,R > r$ με $KL = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R - r < d < R + r$ .
Λύση
α) Βρίσκω το εξωτερικό ,

και το εσωτερικό

,κέντρα ομοιοθεσίας τους . Είναι , $\displaystyle SK = \dfrac{{dr}}{{R - r}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,JK = \dfrac{{dr}}{{R + r}}$ .

Ας είναι $a = SK = \dfrac{{rd}}{{R - r}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: Αντιστροφή και ομοιοθεσία κύκλου σε κύκλο_ 1.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

β)Βρίσκω τη δύναμη σημείου του

ως προς τον μικρό κύκλο και είναι : $p = {b^2} = {a^2} - {r^2}\,\,\,\left( 2 \right)$ . Ο λόγος ομοιοθεσίας είναι

$\lambda = \dfrac{R}{r}$ και η δύναμη αντιστροφής με πόλο το

είναι , $\boxed{{k^2} = {b^2}\dfrac{R}{r} \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{R}{r}}\,\,\,\left( * \right)$ . Κατασκευάζεται και υπολογίζεται το

. Αν π.χ.

$r = 2\,\,,\,\,R = 5\,\,,\,\,d = 9$ έχω : $SK = a = \dfrac{{rd}}{{R - r}} = \dfrac{{2 \cdot 9}}{{5 - 2}} = 6$ , ${b^2} = {a^2} - {2^2} = 36 - 4 = 32\,\,$

και ${k^2} = {b^2}\dfrac{R}{r} = 32 \cdot \dfrac{5}{2} = 16 \cdot 5 \Rightarrow \boxed{k = 4\sqrt 5 }$ .

Ανάλυση και Κατασκευή
.

: Αντιστροφή και ομοιοθεσία κύκλου σε κύκλο_2.png (31.73 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

.
Τα κέντρα Ομοιότητας , $S,\,J$ προκύπτουν εύκολα ( δυο παράλληλες ευθείες από τα κέντρα κ. λ. π)

Φέρνω μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη.

, των δύο κύκλων που ως γνωστό διέρχεται από το

.

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την προέκταση της ακτίνας

στο

. Το τετράπλευρο KTEH

είναι παραλληλόγραμμο.

Το τμήμα LE = LT + TE = R + r

. Γράφω ημικύκλιο με διάμετρο το

που η

το τέμνει στο

.

Πάνω στην ημιευθεία

με αρχή το

θεωρώ τμήμα AB = HS = b

. Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την ημιευθεία

στο

.

Το ευθύγραμμο τμήμα AC = k

είναι η ακτίνα του κύκλου αντιστροφής .

Αυτό γιατί : $\boxed{\dfrac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{A{L^2}}}{{A{E^2}}} = \dfrac{{LT}}{{TE}} = \dfrac{R}{r} \Rightarrow \dfrac{{{k^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{R}{r}}$ , δηλαδή η $\left( * \right)$ που θέλω .

Για όλα τα παραπάνω έχω αρχείο με τρία εργαλεία , Μακροεντολές ( που μπορούν να ενσωματωθούν στο Geogebra).

Όποιος το ζητήσει του το στέλνω με ηλεκρονικό ταχυδρομείο.

Τα 2 πρώτα εργαλεία , « αντιστροφή κύκλου και αντιστροφή ευθείας» μπορεί να

γίνει και από το μενού συμμετρία σε κύκλο (αλλά στο αντίστοιχο δικό μου) του έχω

βάλει ένα «γκρίζο γέμισμα», για να φαίνεται ο κύκλος που προκύπτει λόγω αντιστροφής .

Το τρίτο ( αντιστροφές κύκλων) επί της ουσίας είναι δυναμικό αρχείο της άσκησης

Δηλαδή :

1. Σχεδιάζετε δύο άνισους κύκλους που να μην είναι ο ένας μέσα στον άλλο.

2. Σχεδιάζετε την διακεντρική ευθεία και ένα ελεύθερο σημείο, ας πούμε , εκτός αυτών .

3. Δείχνουμε (δεξί κλίκ) στο εργαλείο : « Αντιστροφή κύκλων» και μετά δείχνουμε :

Α)Το κέντρο και τον αντίστοιχο κύκλο. Το άλλο κέντρο τον άλλο κύκλο και

Β) το ελεύθερο σημείο .

Θα έχετε τα κέντρα ομοιότητας ( κόκκινο και μπλέ πάνω στην διακεντρική ευθεία ) και ένα ευθύγραμμο τμήμα ( έντονο μπλέ) με αρχή το Ε.

Αυτό το τμήμα είναι η ακτίνα του κύκλου αντιστροφής .

Αν ξέρετε τα της «συμμετρίας σε κύκλο» συνεχίστε μόνοι σας αν όχι :

Δείχνεται το εργαλείο μου «αντιστροφή κύκλου» και μετά :

Εξωτερικό κέντρο ομοιότητας(πόλος)-ένα από τους δύο κύκλους –και μετά

το μπλέ τμήμα .

Αν όλα δουλέψουν σωστά, θα γκριζάρει ο άλλος κύκλος.

Αντιστροφή ανίσων κύκλων

Αντιστροφή ανίσων κύκλων

Re: Αντιστροφή ανίσων κύκλων

Re: Αντιστροφή ανίσων κύκλων

Re: Αντιστροφή ανίσων κύκλων

Re: Αντιστροφή ανίσων κύκλων

Μέλη σε σύνδεση