Ελαχιστοποίηση με βαρύκεντρο

MAnTH05 · #1

Έστω τρίγωνο ABC

,

το βαρύκεντρό του και ένα σημείο του επιπέδου

. Να βρεθεί η θέση του

έτσι ώστε το άθροισμα $AP\cdot AG + BP\cdot BG + CP\cdot CG$ να γίνεται ελάχιστο και να εκφραστεί η ελάχιστη τιμή του ως προς τις πλευρές του τριγώνου.

#2

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι:
$AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG\geq \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{GC}=$
$\left( \overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}\right) \cdot \overrightarrow{GA}+\left( \overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}\right) \cdot \overrightarrow{GB}+\left( \overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}\right) \cdot \overrightarrow{GC}=$
$\overrightarrow{PG}\underset{0}{\underbrace{\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right) }}+\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2}=\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+\overrightarrow{GC}^{2}$
Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι $GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$ και επιτυγχάνεται όταν το

συμμπέσει με το

. Η έκφραση της παράστασης συναρτήσει των πλευρών υπάρχει σε άσκηση του σχολικού.

#3

Το έχουμε ξαναδεί παλαιότερα εδώ, όπου υπάρχουν μερικά σχόλια σχετικά με την προέλευση του προβλήματος.

#4

matha έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 18, 2021 8:23 am
Το έχουμε ξαναδεί παλαιότερα εδώ, όπου υπάρχουν μερικά σχόλια σχετικά με την προέλευση του προβλήματος.

Θάνο ενδιαφέρον.
Με την ευκαιρία θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο. Η παράσταση που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε είναι το εσωτερικό γινόμενο των $\vec{u}=(GA,GB,GC)$ και $\vec{w}=(PA, PB, PC)$ που από την Cauchy-Schwarz δεν υπερβαίνει το $|\vec{u}| \cdot |\vec{w}|$ . To $|\vec{u}|$ είναι σταθερ'ο και το $|\vec{w}|$ ξέρουμε ότι ελαχιστοποιείται ότν το

συμπέσει με το

. Αυτό δεν αποτελεί απόδειξη (προς στιγμήν είχα νομίσει ότι μπορεί να δώσει μία) αλλά ισχυρή νύξη να στραφούμε στο

. Έχουμε μια ακόμη περίπτωση όπου φαίνεται ότι οι διανυσματικές μέθοδοι όχι μόνο μπορεί να δίνουν σύντομες λύσεις αλλά και να υποβοηθούν τις ενοράσεις μας. Ένα άλλο παράδειγμα είχαμε δει εδώ .

mathematica.gr

Ελαχιστοποίηση με βαρύκεντρο

Ελαχιστοποίηση με βαρύκεντρο

Re: Ελαχιστοποίηση με βαρύκεντρο

Re: Ελαχιστοποίηση με βαρύκεντρο

Re: Ελαχιστοποίηση με βαρύκεντρο

Μέλη σε σύνδεση