Σχέση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω τρίγωνο ABC

και

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.Η

τέμνει την

στο σημείο $A_{1}$ .
Ομοια ορίζονται τα σημεία $B_{1} , C_{1}$ .
Να δείξετε ότι $\frac{1}{AA_{1}}+\frac{1}{BB_{1}}+\frac{1}{CC_{1}}=\frac{2}{R}$
όπου

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Dimessi · #2

$\displaystyle R=\frac{a}{2\sin \angle A}=\frac{b}{2\sin \angle B}=\frac{c}{2\sin \angle C}.$
$\displaystyle AA_{1}=b\cdot \frac{\sin \angle C}{\cos \left ( \angle C-\angle B \right )}.$
$\displaystyle \frac{R}{AA_{1}}=\frac{\cos\left ( \angle C-\angle B \right )}{2\sin \angle B\sin \angle C}\left ( \mathrm{cyc} \right ).$

$\displaystyle \sum_{cyc}^{}\frac{\cos\left ( \angle C-\angle B \right )}{2\sin \angle B\sin \angle C}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}^{}\left ( 1+\cot \angle B \cot \angle C \right )=\frac{1}{2}\left ( 3+\cot \angle A\cot \angle B+\cot \angle A\cot \angle C+\cot \angle B\cot \angle C\right )$ =2,

άρα $\displaystyle \boxed{\displaystyle \frac{R}{AA_{1}}+\frac{R}{BB_{1}}+\frac{R}{CC_{1}}=2}.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 6:21 pm
Εστω τρίγωνο και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.Η τέμνει την στο σημείο $A_{1}$ .
Ομοια ορίζονται τα σημεία $B_{1} , C_{1}$ .
Να δείξετε ότι $\frac{1}{AA_{1}}+\frac{1}{BB_{1}}+\frac{1}{CC_{1}}=\frac{2}{R}$
όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Χωρίς Τριγωνομετρία.

Έστω

ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

με

ύψη του

Ισχύει $\dfrac{2R}{AA_1} = \dfrac{AK}{AD} \Rightarrow \dfrac{R}{AA_1} = \dfrac{1}{2} \dfrac{AK}{AD}$ και ομοίως $\dfrac{R}{BB_1} = \dfrac{1}{2} \dfrac{BS}{BE}$ και $\dfrac{R}{CC_1} = \dfrac{1}{2} \dfrac{CM}{CZ}$ .

Με πρόσθεση, $\dfrac{R}{AA_1} +\dfrac{R}{BB_1}+\dfrac{R}{CC_1} = \dfrac{1}{2} (\dfrac{AK}{AD} + \dfrac{BS}{BE}+ \dfrac{CM}{CZ} )$

Θα αποδείξουμε ότι $\dfrac{AK}{AD} + \dfrac{BS}{BE}+ \dfrac{CM}{CZ}=4$

Ξέρουμε ότι HD=DK,HE=ES,HZ=ZM

και

$\dfrac{AK}{AD} =\dfrac{AD+DK}{AD}=1+ \dfrac{DK}{AD}=1+ \dfrac{ HD }{AD} =1+ \dfrac{(HBC)}{(ABC)}$

Ομοίως $\dfrac{BS}{BE} =1+ \dfrac{(HAC)}{(ABC)}$ και $\dfrac{CM}{CZ}=1+ \dfrac{(AHB)}{(ABC)}$

Με πρόσθεση $\dfrac{AK}{AD} +\dfrac{BS}{BE}+\dfrac{CM}{CZ}=3+ \dfrac{(HBC)+(HAC)+(HAB)}{(ABC)}=4$

: Σχέση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.png (57.29 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Σχέση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Σχέση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Re: Σχέση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Re: Σχέση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Μέλη σε σύνδεση