Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Δύο κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και . Έστω το μέσο του .
Έστω τυχαίο σημείο του κύκλου , διαφορετικό των και . Οι ευθείες και
τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία και
είναι οι προβολές του στις ευθείες και αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο
. Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Έστω τυχαίο σημείο του κύκλου , διαφορετικό των και . Οι ευθείες και
τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία και
είναι οι προβολές του στις ευθείες και αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο
. Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Επαναφέρω αυτό το πανέμορφο!!! θέμα που είδα μόλις σήμερα και με δυσκόλεψε λιγάκι (μέχρι να "υποκύψει" ) . Θα το αφήσω μέχρι την Κυριακή να το δοκιμάσουν και άλλοι που πιθανόν να μην το έχουν δει και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική από τη δική μου.
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Αγαπητέ, κ. Στάθη, προσμένουμε την καθαρή Ευκλείδεια λύση σας με ενδιαφέρον!ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Επαναφέρω αυτό το πανέμορφο!!! θέμα που είδα μόλις σήμερα και με δυσκόλεψε λιγάκι (μέχρι να "υποκύψει" ) . Θα το αφήσω μέχρι την Κυριακή να το δοκιμάσουν και άλλοι που πιθανόν να μην το έχουν δει και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική από τη δική μου.
Στάθης
Στο ξένο φόρουμ που δημοσιεύτηκε δεν έχει δοθεί ακόμα λύση!
Είχα μπειστον πειρασμό να την προσπαθήσω με αναλυτική γεωμετρία αλλά με προλάβατε!
Δ.Πλακάκης
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Για να καλησπερίσω με ειλικρινή σταθερή αγάπη τον φίλο Στάθη, αλλά και να ... προλάβω αφού πριν μαζί με την πράγματι πολύ καλή αυτή άσκηση είδα ότι αύριο αναρτάται η σίγουρα όμορφη λύση του. Ο πλουραλισμός εδώ στο mathematica, έστω και σε πολύ καλά και δύσκολα θέματα, είναι και το απόλυτο πλεονέκτημα του.dimplak έγραψε:Δύο κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και . Έστω το μέσο του . Έστω τυχαίο σημείο του κύκλου , διαφορετικό των και . Οι ευθείες και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία και είναι οι προβολές του στις ευθείες και αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Αποδεικνύεται εύκολα ότι το σημείο είναι το μέσον του στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι
Τα μεγέθη είναι σταθερά και επειδή , και το μήκος θα είναι σταθερό.
Τελικά λοιπόν παίρνουμε Δηλαδή το σημείο θα είναι σταθερό σημείο. Ως θεωρήθηκε το σημείο τομής των
(*) Με το ίδιο σκεπτικό εργαζόμαστε και αν τα σημεία ανήκουν σε διαφορετικά τόξα.
(**) Προσωπικά ας μου επιτραπεί να θεωρώ ότι το θέμα αυτό θα ήταν πολύ χρήσιμο να τοποθετηθεί στον Φάκελο Seniors για τους διαγωνισμούς Αρχιμήδη, ΒΜΟ, ΙΜΟ.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο
Καλησπέρα Σωτήρη και Δημήτρη.S.E.Louridas έγραψε:Για να καλησπερίσω με ειλικρινή σταθερή αγάπη τον φίλο Στάθη, αλλά και να ... προλάβω αφού πριν μαζί με την πράγματι πολύ καλή αυτή άσκηση είδα ότι αύριο αναρτάται η σίγουρα όμορφη λύση του. Ο πλουραλισμός εδώ στο mathematica, έστω και σε πολύ καλά και δύσκολα θέματα, είναι και το απόλυτο πλεονέκτημα του.dimplak έγραψε:Δύο κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και . Έστω το μέσο του . Έστω τυχαίο σημείο του κύκλου , διαφορετικό των και . Οι ευθείες και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Επιπλέον, τα σημεία και είναι οι προβολές του στις ευθείες και αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Αποδεικνύεται εύκολα ότι το σημείο είναι το μέσον του στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι
Τα μεγέθη είναι σταθερά και επειδή , και το μήκος θα είναι σταθερό.
Τελικά λοιπόν παίρνουμε Δηλαδή το σημείο θα είναι σταθερό σημείο. Ως θεωρήθηκε το σημείο τομής των
(*) Με το ίδιο σκεπτικό εργαζόμαστε και αν τα σημεία ανήκουν σε διαφορετικά τόξα.
(**) Προσωπικά ας μου επιτραπεί να θεωρώ ότι το θέμα αυτό θα ήταν πολύ χρήσιμο να τοποθετηθεί στον Φάκελο Seniors για τους διαγωνισμούς Αρχιμήδη, ΒΜΟ, ΙΜΟ.
GEOM.png
Είναι μεγάλη μου χαρά που ο Σωτήρης , ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής μας, έδωσε τη λύση στο όμορφο αυτό πρόβλημα.
Και η χαρά μου είναι μεγαλύτερη που ταυτίζεται σχεδόν με τη δική μου. Δεν είναι η πρώτη φορά που ταυτίζομαι με το Σωτήρη
Επειδή έχω δεσμευτεί να απαντήσω θα προσπαθήσω να διαφοροποιηθώ λίγο (νομίζω ότι δεν έχω και πολλές επιλογές) κατασκευάζοντας δύο όμορφα λήμματα που "κρύβονται" στο πρόβλημα.
Κούτρα καλό ξενύχτη!!!
Με εκτίμηση
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες