Περνάει από το μέσο!

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω κύκλος με κέντρο και έστω ένα τυχαίο σημείο του. Φέρνουμε κύκλο με κέντρο και έστω τα σημεία τομής του με τον κύκλο με κέντρο το . Έστω ένα άλλο σημείο του κύκλου με κέντρο το εξωτερικά του κύκλου κέντρου . Φέρνουμε τις εφαπτόμενες και ως προς τον κύκλο κέντρου Να αποδειχθεί πως η διχοτομεί το .

Υ.Γ. Μπορεί να υπάρχει και μια πιο εύκολη προσέγγιση από αυτή που έχω σκεφτεί και να πρέπει να μπει η άσκηση σε άλλο φάκελο...

[raf616]

Καλησπέρα Διονύση! Μία απάντηση που νομίζω είναι απλή.

Έστω το μέσο της . Αρκεί να δειχθεί ότι ανήκει πάνω στη , δηλαδή στο ριζικό άξονα των κύκλων κέντρου και κέντρου .

Αρκεί, επομένως, να έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους.

Ισχύει όμως που δίνει το ζητούμενο αφού το πρώτο γινόμενο είναι η δύναμη του ως προς τον κύκλο κέντρου και το τελευταίο η δύναμη του

ως προς τον κύκλο κέντρου .

Έτσι, το ζητούμενο εδείχθη.

[KARKAR]

Γεωμετρικό τόπος.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 1513 φορές

Θα μπορούσαμε να διατυπώσουμε την άσκηση ως εξής : Από σημείο , το οποίο

κινείται στον κύκλο φέρω τα εφαπτόμενα προς τον τμήματα .

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Πάμε τώρα στη γενικότερη περίπτωση :

Γεωμετρικό τόπος 2.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 1513 φορές

Να βρεθεί ο γ.τ του μέσου , αν το κέντρο του , δεν είναι σημείο του .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για την γενίκευση:

Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του .

Έστω η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το και η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το .

Θεωρούμε αντιστροφή με πόλο το και δύναμη αντιστροφής .

Είναι γνωστό πως το πάει στο και το ανάποδο με αυτή την αντιστροφή.

Ακόμη τα είναι παραμένουν στις θέσεις τους, καθώς είναι σημεία του κύκλου αντιστροφής (δηλαδή του κύκλου με κέντρο το ).

Επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου γίνεται ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου .

Με άλλα λόγια ο κύκλος με κέντρο το αντιστρέφεται στον κύκλο με κέντρο το .

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής πρόταση:

Δύο αντίστροφοι κύκλοι στην αντιστροφή είναι ομοιόθετοι με κέντρο το και λόγο , όπου είναι η δύναμη του πόλου ως προς τον κύκλο .

Επομένως ισχύει ότι .

Επομένως το ανήκει στο κύκλο με κέντρο και ακτίνα , όπου σημείο στο εσωτερικό του έτσι ώστε .

Για το αρχικό πρόβλημα:

Χρησιμοποιούμε την ίδια αντιστροφή. Αυτή τη φορά όμως αφού ο κύκλος με κέντρο το διέρχεται από το πόλο , έχουμε πως ο κύκλος με κέντρο το γίνεται η . Επομένως κάθε σημείο του κύκλου με κέντρο το αντιστρέφεται και γίνεται σημείο της ευθείας . Όμως το έχει αντίστροφο το . Επομένως το βρίσκεται στην .