Παραλληλία

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 15, 2017 8:25 pm

παραλληλία.png
παραλληλία.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές
Από την κορυφή B τριγώνου \displatstyle ABC , με AB<AC , φέρουμε κάθετη προς την

διχοτόμο AD , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο S . Δείξτε ότι SD\parallel AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 16, 2017 2:44 am

Kαλημέρα! Άρση απόκρυψης- αιτιολόγηση . Με χρήση του σχήματος :
16-11-17 Παραλληλία.PNG
16-11-17 Παραλληλία.PNG (6.19 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές
Φανερό ότι AE=AB=c. Με το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο MAC και διατέμνουσα την BSE

\dfrac{AS}{SM}\cdot \dfrac{MB}{BC}\cdot \dfrac{CE}{EA}=1\Rightarrow \dfrac{AS}{SM}=\dfrac{2c}{b-c}..\left ( 1 \right ) .Από την εφαρμογή του Θ. διχοτόμου : BD=\dfrac{ac}{b+c} ενώ

DM=BM-BD=\dfrac{a}{2}-\dfrac{ac}{b+c}=\dfrac{a\left ( b-c \right )}{2\left ( b+c \right )} συνεπώς \dfrac{BD}{DM}=\dfrac{2c}{b-c}..\left ( 2 \right )

Βρίσκουμε λοιπόν \dfrac{AS}{SM}=\dfrac{2c}{b-c}=\dfrac{BD}{DM} που σημαίνει SD\parallel AB

Φιλικά , Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Πέμ Νοέμ 16, 2017 11:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 16, 2017 2:45 am

παραλληλία_Απο KARKAR_15_11_2017.png
παραλληλία_Απο KARKAR_15_11_2017.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές
Ας είναι K το σημείο τομής των AD\,,\,BS , L το σημείο τομής των BS\,\,,\,\,AC και N το σημείο τομής των MK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB.

Επειδή στο τρίγωνο ABL η διχοτόμος από το A είναι και ύψος , αυτό θα είναι ισοσκελές και το K μέσο του BL.

Οπότε η KM//AC και θα είναι αναγκαστικά το N μέσο του AB. Στο τρίγωνο ABM από το Θ. Van\,\,Aubel θα έχω :

\displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{AZ}}{{ZB}} + \frac{{AS}}{{SM}} = 1 + \frac{{AS}}{{SM}} \Rightarrow \frac{{AS}}{{SM}} = \frac{{AK}}{{KD}} - 1 .

Αλλά αφού KM//AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC = MB η προηγούμενη σχέση δίδει:

\dfrac{{AS}}{{SM}} = \dfrac{{MC}}{{MD}} - 1 = \dfrac{{MB}}{{MD}} - 1 = \dfrac{{MB - MD}}{{MD}} = \dfrac{{BD}}{{DM}} . Δηλαδή \dfrac{{AS}}{{SM}} = \dfrac{{BD}}{{DM}} και κατά συνέπεια SD//AB.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 16, 2017 1:34 pm

ASE,KSM,\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{AE}{KM}\Rightarrow \dfrac{AM-MS}{SM}=\dfrac{2c}{b-c}\Leftrightarrow \dfrac{MS}{AM}=\dfrac{b-c}{b+c},(2), (1),(2)\Rightarrow (*)
KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 8:25 pm
παραλληλία.pngΑπό την κορυφή B τριγώνου \displatstyle ABC , με AB<AC , φέρουμε κάθετη προς την

διχοτόμο AD , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο S . Δείξτε ότι SD\parallel AB .


Θα αποδειχθεί οτι \dfrac{MS}{MA}=\dfrac{MD}{MB},(*)

Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου ειναι DB=\dfrac{ac}{c+b}
Συνεπώς

\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{b-c}{b+c},(1),

Απο τα όμοια τρίγωνα ASE,KSM,\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{AE}{KM}\Leftrightarrow \dfrac{AM-MS}{SM}=\dfrac{2c}{b+c}\Leftrightarrow \dfrac{SM}{AM}=\dfrac{b-c}{b+c},(2),AE=c,KM=\dfrac{b-c}{2}, (1),(2)\Rightarrow (*)




Γιάννης
Συνημμένα
Παραλληλία.png
Παραλληλία.png (59.59 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης