Πού βρίσκεται το σημείο;

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Πού βρίσκεται το σημείο;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pm

Μπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος AD. Έστω K σημείο του μικρού τόξου AC. Που πρέπει να βρίσκεται το K, έτσι ώστε αν η BK τέμνει την AC στο M και την AD στο L, το M να είναι το μέσο του KL.


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 25, 2017 8:26 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pm
Μπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος AD. Έστω K σημείο του μικρού τόξου AC. Που πρέπει να βρίσκεται το K, έτσι ώστε αν η BK τέμνει την AC στο M και την AD στο L, το M να είναι το μέσο του KL.

Το ύψος BM με ορθόκεντρο του τριγώνου το L ικανοποιούν τις υποθέσεις της άσκησης. Αρκεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλο τέτοιο σημείο.

edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Νοέμ 25, 2017 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Νοέμ 25, 2017 10:45 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pm
Μπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος AD. Έστω K σημείο του μικρού τόξου AC. Που πρέπει να βρίσκεται το K, έτσι ώστε αν η BK τέμνει την AC στο M και την AD στο L, το M να είναι το μέσο του KL.
Φέρνουμε το συμμετρικό τόξο του AC το οποίο τέμνει την AD στο L και το τόξο AC στο K
\angle LAC= \angle KAC λόγω της συμμετρίας και \angle KAC=\angle KBC ως εγγεγραμμένες στο KC
\angle LAC= \angle ΚΒC και άρα BK\perp AC
Επομένως KM=LM όπου M\equiv BK\cap AC

Έστω K' εσωτερικό του τόξου AK και L' \equiv BK'\cap AD και M'\equiv BK'\cap AC
Ώστε M'K'=M'L' πρέπει οι προβολές τους L'P=K'Q
Έστω L''\equiv L'P\cap AK (συμετρικό του L' προς AC )
Παρατηρούμε πως \angle L'L''K' >90
Και άρα G εσωτερικό της K'Q με GL''\perp L'L''
Eπομένως L'P<K'Q

Tώρα αν K' είναι εσωτερικό του τόξου KC τότε η προβολή L'P είναι μεγαλύτερη της K'Q
αφού MD εξωτερικό του του χωρίου που ορίζουν ο τόξο KC το συμμετρικό του ως προς AC και το KD


Υ.Γ(1) Eλπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι .
Υ.Γ(2) Πως θα μπορούσαμε να αποδείξουμε πλήρως ότι \angle L'L''K' >90

Έγινε διόρθωση : γωνία L'L''K' >90
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Κυρ Νοέμ 26, 2017 12:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Νοέμ 25, 2017 11:19 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Νοέμ 25, 2017 8:26 pm
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pm
Μπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος AD. Έστω K σημείο του μικρού τόξου AC. Που πρέπει να βρίσκεται το K, έτσι ώστε αν η BK τέμνει την AC στο M και την AD στο L, το M να είναι το μέσο του KL.

Το ύψος BM με ορθόκεντρο του τριγώνου το L ικανοποιούν τις υποθέσεις της άσκησης. Αρκεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλο τέτοιο σημείο.

edit: Άρση απόκρυψης.
Υπάρχουν 2 σημεία με αυτή την ιδιότητα... :D


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Νοέμ 26, 2017 4:33 pm

mikemoke έγραψε:
Σάβ Νοέμ 25, 2017 10:45 pm
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pm
Μπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος AD. Έστω K σημείο του μικρού τόξου AC. Που πρέπει να βρίσκεται το K, έτσι ώστε αν η BK τέμνει την AC στο M και την AD στο L, το M να είναι το μέσο του KL.
Φέρνουμε το συμμετρικό τόξο του AC το οποίο τέμνει την AD στο L και το τόξο AC στο K
\angle LAC= \angle KAC λόγω της συμμετρίας και \angle KAC=\angle KBC ως εγγεγραμμένες στο KC
\angle LAC= \angle ΚΒC και άρα BK\perp AC
Επομένως KM=LM όπου M\equiv BK\cap AC

Έστω K' εσωτερικό του τόξου AK και L' \equiv BK'\cap AD και M'\equiv BK'\cap AC
Ώστε M'K'=M'L' πρέπει οι προβολές τους L'P=K'Q
Έστω L''\equiv L'P\cap AK (συμετρικό του L' προς AC )
Παρατηρούμε πως \angle L'L''K' >90
Και άρα G εσωτερικό της K'Q με GL''\perp L'L''
Eπομένως L'P<K'Q

Tώρα αν K' είναι εσωτερικό του τόξου KC τότε η προβολή L'P είναι μεγαλύτερη της K'Q
αφού MD εξωτερικό του του χωρίου που ορίζουν ο τόξο KC το συμμετρικό του ως προς AC και το KD


Υ.Γ(1) Eλπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι .
Υ.Γ(2) Πως θα μπορούσαμε να αποδείξουμε πλήρως ότι \angle L'L''K' >90

Έγινε διόρθωση : γωνία L'L''K' >90
Μιας και υπάρχουν κενά στην δεύτερη παράγραφο παραθέτω περαιτέρω σκέψεις.

Έστω τρίγωνο ABC εγγεγραμένο σε κύκλο C
Φέρουμε τόξο\stackrel\frown {t} συμμετρικό του \stackrel\frown {AC} ως προς την χορδή AC
και ύψος AD , L\equiv \stackrel\frown {t}\cap AD, M\equiv BL\cap AC, K\equiv BL\cap \stackrel\frown {AC}
Παραπάνω δείξαμε ότι το K ικανοποιεί LM=KM και ότι L ορθόκεντρο ABC

1) Θεωρούμε περίπτωση κατά την οποία το M είναι εσωτερικό του NC, όπου N μέσον AC.
Τότε μπορεί να βρεθεί K' εντός \stackrel\frown {AK} ώστε KK' \perp BK με L'\equiv BK'\cap AD
και P συμμετρικό L' ως προς AC.
Για κάθε X εντός \stackrel\frown {KK'} και Y εντός LL' με Y\equiv XB\cap AD
ισχύει ότι προβολή του X στηνAC είναι IX>MK
και ότι η προβολή του Y στην AC είναι SY<LM
Έτσι IX>SY.Και άρα το ζητούμενο σημείο δεν βρίσκεται εντός \stackrel\frown {KK'}

Aφού IX>SY μπορεί να βρεθεί K'' εντός \stackrel\frown {AK'} ώστε K''P \perp L'P με L''\equiv BK'\cap AD και P' συμμετρικό L'' ως προς AC.
Ομοίως για κάθε X εντός \stackrel\frown {K'K''} και Y εντός \stackrel\frown {L'L''} με Y\equiv BX\cap AD ισχύει ότι η προβολή του X στην AC είναι μεγαλύτερη του Y

Η διαδικασία συνεχίζεται και άρα για κανένα X εντός \stackrel\frown {AC} δεν ισχύει το ζητούμενο.
Αυτό θα γινόταν αν \angle KBK'+\angle K'BK''+K''BK'''+...\rightarrow \angle KBA
Γιατί όμως να γίνεται ή όχι κάτι τέτοιο;

Αν X εντός \stackrel\frown {KC} τότε Y εντός LD
Τότε η προβολή του X στην AC μικρότερη MK
και η προβολή τουY στη AC μεγαλύτερη LM
Άρα προβολή X μικρότερη προβολής Y.
Άρα για κανένα εσωτερικό \stackrel\frown {KC} δεν ισχύει το ζητούμενο.


2) Υπάρχει περίπτωση όπου M εντός AN. Τότε έστω Z\equiv ON\cap \stackrel\frown {t} με O κέντρο του κύκλου (C) και H επί της AD ώστε ZH \perp ON.
Έχουμε X\epuiv BH\stackrel\frown {AC}.
Προκύπτει ότι τα ζητούμενα σημεία θα βρίσκονται εντός \stackrel\frown {AX}
To ένα είναι σίγουρα το K το άλλο θα πρέπει να εντοπιστεί .
Συνημμένα
Σάρωση_20171126 (7).png
Σάρωση_20171126 (7).png (755.32 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές
Σάρωση_20171126 (5).png
Σάρωση_20171126 (5).png (553.73 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 26, 2017 5:46 pm

Πράγματι υπάρχουν δύο σημεία.
Πού;.png
Πού;.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές
Το ένα προκύπτει από το ύψος BM και το άλλο από το σημείο M_1 όπου η μεσοκάθετος της BC τέμνει την AC (αν την τέμνει

σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο

είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η AB είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την AC.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Νοέμ 26, 2017 8:13 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 26, 2017 5:46 pm
Πράγματι υπάρχουν δύο σημεία. Πού;.png
Το ένα προκύπτει από το ύψος BM και το άλλο από το σημείο M_1 όπου η μεσοκάθετος της BC τέμνει την AC (αν την τέμνει

σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο

είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η AB είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την AC.
Πρέπει και να αποδειχτεί ότι έχουμε το πολύ 2 λύσεις .


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Νοέμ 27, 2017 10:31 pm

Επαναφορά. Η άσκηση είναι δικής μου επινόησης (την αντιμετώπισα στα πλαίσια μια άλλης άσκησης). Για αυτό το λόγο δεν έχω δηλώσει καλά τους περιορισμούς. Λύση έχω για την περίπτωση που το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και όταν AC>AB. Ας αφήσουμε λοιπόν προς το παρόν τη Γενίκευση.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Νοέμ 30, 2017 1:11 am

Αρχικά θα αποδείξουμε το εξής:
Πού βρίσκεται το σημείο (2).png
Πού βρίσκεται το σημείο (2).png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές
Λήμμα:

Έστω κύκλος με κέντρο O και χορδές του AB και CD ώστε η χορδή CD να βρίσκεται μέσα στο μεγάλο τόξο \stackrel{\frown}{AB}. Οι δύο χορδές έχουν σταθερό μήκος, ενώ η χορδή CD ολισθαίνει πάνω στον κύκλο, ξεκινώντας με C \equiv A και καταλήγοντας με D \equiv B. Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο CA \cdot DB θα μεγαλώνει συνεχώς μέχρι να γίνει CD//AB και στη συνέχεια θα μικραίνει συνεχώς.

Απόδειξη:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε πως ο κύκλος έχει ακτίνα 1.
Αν x μια επίκεντρη γωνία του κύκλου και EZ η αντίστοιχη χορδή, θα ισχύει EZ=2\sin \dfrac{x}{2}. Αυτό προκύπτει εύκολα λαμβάνοντας υπόψη ότι στα ορθογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται από το αντίστοιχο απόστημα θα έχουμε \sin \dfrac{x}{2} = \dfrac{\frac{EZ}{2}}{1}

Θα αποδείξουμε ότι όσο η γωνία \widehat{COA} μεγαλώνει, μέχρι να γίνει CD//AB, θα μεγαλώνει και το γινόμενο CA \cdot DB. Στη συνέχεια είναι προφανές ότι για λόγους συμμετρίας το γινόμενο θα αρχίσει να μικραίνει.

Παρατηρούμε ότι \widehat{AOB} και \widehat{COD} είναι σταθερού μεγέθους, άρα και \widehat{AOB} + \widehat{COD} είναι σταθερό.

Άρα και το άθροισμα \widehat{AOC} + \widehat{DOB}= 360^o - (\widehat{AOB} + \widehat{COD}) είναι σταθερό.

Για λόγους ευκολίας και χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτουμε: \widehat{AOC} + \widehat{DOB}=4k (με 0^o \leq k \leq 90^o).
Επίσης θέτουμε: \widehat{COA} = 2k-2x και άρα \widehat{DOB} = 2k+2x. Αρχικά θα είναι x=k και το x θα μικραίνει συνεχώς μέχρι να μηδενιστεί όταν γίνει CD//AB.

Έχουμε CA = 2 \sin (k-x) και DB = 2 \sin (k+x).

CA \cdot DB = 4 \sin (k-x) \cdot \sin (k+x)

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως αν 0 \leq m < n \leq k τότε θα ισχύει: 4 \sin (k-n) \cdot \sin (k+n) <4 \sin (k-m) \cdot \sin (k+m) . Έχουμε:

4 \sin (k-n) \cdot \sin (k+n) <4 \sin (k-m) \cdot \sin (k+m) \Leftrightarrow

( \sin k \cos n -\cos k \sin n)( \sin k \cos n +\cos k \sin n) <  ( \sin k \cos m -\cos k \sin m)( \sin k \cos m +\cos k \sin m) \Leftrightarrow

 \sin^2 k \cos^2 n -\cos^2 k \sin^2 n < \sin^2 k \cos^2 m -\cos^2 k \sin^2 m  \Leftrightarrow

 \sin^2 k \cos^2 n -(1-\sin^2 k )(1-\cos^2 n) < \sin^2 k \cos^2 m -(1-\sin^2 k)(1- \cos^2 m)  \Leftrightarrow

 -1+\sin^2 k+ \cos^2 n < -1+\sin^2 k+ cos^2 m  \Leftrightarrow \cos^2 n < cos^2 m

που ισχύει γιατί η f(x) = \cos x είναι γνησίως φθίνουσα στο εξεταζόμενο διάστημα.

Υ.Γ.

Λόγω ώρας αύριο η συνέχεια στο αρχικό πρόβλημα


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πού βρίσκεται το σημείο;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Νοέμ 30, 2017 8:58 pm

mikemoke έγραψε:
Κυρ Νοέμ 26, 2017 8:13 pm
george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 26, 2017 5:46 pm
Πράγματι υπάρχουν δύο σημεία. Πού;.png
Το ένα προκύπτει από το ύψος BM και το άλλο από το σημείο M_1 όπου η μεσοκάθετος της BC τέμνει την AC (αν την τέμνει

σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο

είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η AB είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την AC.
Πρέπει και να αποδειχτεί ότι έχουμε το πολύ 2 λύσεις .
Πού βρίσκεται το σημείο.png
Πού βρίσκεται το σημείο.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές
Έχουμε το οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC και έστω κάποιο σημείο K του κύκλου ώστε KM=ML. Έστω E το σημείο τομής της AD με τον κύκλο.

Παίρνουμε σημείο F του κύκλου έτσι ώστε AF//BK. Αφού M είναι το μέσο του KL, άρα η δέσμη A(L,K,M,F) είναι αρμονική. Άρα το τετράπλευρο ECKF είναι αρμονικό και FE \cdot KC = EC \cdot FK. Όμως το BAFK είναι ισοσκελές τραπέζιο με FK=BA.

Άρα ισχύει FE \cdot KC= EC \cdot BA και επειδή το γινόμενο EC \cdot BA είναι σταθερό, άρα και το FE \cdot KC παίρνει συγκεκριμένη τιμή, όποια κι αν είναι η πιθανή θέση του K. Επίσης οι χορδές EC και FK έχουν σταθερό μήκος (FK=BA), η χορδή EC έχει συγκεκριμένη θέση, ενώ η χορδή FK βρίσκεται στο μεγάλο τόξο \stackrel{\frown}{EC} με τη θέση του να καθορίζεται από τη θέση του K. Όμως σύμφωνα με το λήμμα που προαναφέρθηκε το FE \cdot KC μπορεί να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή το πολύ 2 φορές. Μία φορά όταν η χορδή FK βρίσκεται σε θέση πιο αριστερά από τη θέση που θα είχε αν ήταν FK//EC και μία όταν βρίσκεται πιο δεξιά από αυτήν.

Στην περίπτωση του τριγώνου που εξετάζουμε υπάρχουν πράγματι 2 θέσεις. Είναι αυτές που εντόπισε ο κ. Γιώργος και μπορούμε να τις αναφέρουμε ισοδύναμα ως εξής: Η μία όταν BK \perp AC και η άλλη όταν AK // BC (αυτή ουσιαστικά απεικονίζεται στο σχήμα!). Η απόδειξη και για τις 2 είναι εύκολη.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες