Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 23, 2017 7:56 pm

Έστω τρίγωνο ABC με περιγεγραμμένο κύκλο c_1 και έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις BC, CA, AB στα D, E,F. Έστω M το μέσο του τόξου BAC. Ακόμα έστω N σημείο του τμήματος EF ώστε EF\perp DN. Η MN τέμνει τον c_1 στο S. Να αποδειχθεί ότι η SN διχοτομεί τη γωνία \widehat{FSE}.
Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση.png
Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση.png (28.24 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Δεκ 25, 2017 12:09 pm

Χρόνια πολλά!

Επαναφέρω την άσκηση. Πρόκειται για ένα αποτέλεσμα που έφτασα στα πλαίσια λύσης άλλης άσκησης.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Δεκ 28, 2017 11:32 pm

Τελευταία Επαναφορά. Αύριο θα βάλω τη λύση μου...


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7339
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 29, 2017 10:54 am

Ας είναι I το έγκεντρο του τριγώνου \vartriangle ABCκαι P το άλλο σημείο τομής του

περιγεγραμμένου κύκλου {K_1} του τριγώνου ABC με τον κύκλο {K_2} , διαμέτρου AI.

Η αντιστροφή του κύκλου {K_2} με πόλο το σημείο του I και δύναμη αντιστροφής \lambda  = I{F^2} είναι η ευθεία EF.

(Ενώ ο κύκλος αντιστροφής είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC .)

Σ αυτή την αντιστροφή το A έχει αντίστροφο το σημείο τομής, έστω J, της AI με τη EF . Το J είναι προφανώς μέσο του EF.

Με όμοιους συλλογισμούς τα B,C αντιστοιχίζονται στο μέσα των FD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE .

Δηλαδή στον κύκλο του Euler στο τρίγωνο FDE. Έτσι το D αντιστοιχίζεται στο N , πόδα του ύψους και η IN διέρχεται έτσι από το P.
Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.png
Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.png (56.9 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές
Τώρα ας είναι H το αντιδιαμετρικό του M ( στον κύκλο {K_1}).

Η πολική του A ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο I είναι η ευθεία EF που τέμνει την HS έστω στο G.

Άρα η πολική του G θα διέρχεται από το A. Το τετράπλευρο NPGS είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου NG που έχει φορέα την ευθεία EF.

Η πολική του N θα διέρχεται έτσι από το G είναι δηλαδή η \overline {APG} και συνεπώς τα σημεία G,N είναι αρμονικά συζυγή των F,E

και αφού NS \bot GH , αυτή (η NS) θα διχοτομεί τη γωνία \widehat {ESF}.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Δεκ 29, 2017 10:40 pm

Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση (1).png
Ενδιαφέρουσα Διχοτόμηση (1).png (37.84 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές
Εναλλακτικά:

Έστω G η τομή της EF με την BC. Είναι γνωστό πως η τετράδα (G, D, B, C) είναι αρμονική (αφού οι AD, BE, CF συντρέχουν στο I και θα σχηματιστεί το πλήρες τετράπλευρο AFIE.BC κλπ).

Αφού τώρα \widehat{GND}=90^o, προκύπτει από γνωστή ιδιότητα πως η ND είναι διχοτόμος της \widehat{BNC}. Αφού είναι \widehat{FND}=\widehat{END}=90^o, προκύπτει ότι \widehat{FNB}=\widehat{ENC} (1)

Ακόμα έχουμε πως \widehat{BSC}=180^o-\widehat{A}, άρα αφού M είναι το μέσο του τόξου BAC, έχουμε πως \widehat{BSM}=90^o-\dfrac{\widehat{A}}{2}.

Επιπλέον είναι γνωστό πως \widehat{AFE}=90^o-\dfrac{\widehat{A}}{2}.

Επειδή \widehat{BSN}=\widehat{BSM}=\widehat{AFE}, προκύπτει ότι το BSNF είναι εγγράψιμο τετράπλευρο. Όμοια και το CSNE είναι εγγράψιμο τετράπλευρο.

Επομένως \widehat{FNB}=\widehat{FSB} και \widehat{ENC}=\widehat{ESC}. Από την (1) λοιπόν προκύπτει ότι \widehat{FSB}=\widehat{ESC}.

Συνεπώς αν εκμεταλλευτούμε και ότι η SN διχοτομεί την \widehat{BSC}, προκύπτει ότι η SN διχοτομεί την \widehat{FSE}.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης