Πολύπλοκη καθετότητα
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Πολύπλοκη καθετότητα
το μέσο της και οι προβολές των αντίστοιχα στην Αν η κάθετη από το στην τέμνει την
στο να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πολύπλοκη καθετότητα
Το πάει στο και αφού , έχουμε ότι η είναι συμμετρική της .
Άρα το συμμετρικό του , έστω , είναι σημείο του .
Ξέρουμε πως το και είναι συμμετρικά. Άρα οι ευθείες και είναι συμμετρικές, δηλαδή παράλληλες, επομένως .
Η ευθεία έχει συμμετρική την . Αρκεί λοιπόν να είναι κάθετη στην .
Μετασχηματίζουμε το αρχικό πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο:
Έστω τραπέζιο με τις διαγώνιές του να τέμνονται κάθετα στο . Φέρνουμε κάθετη στην . Έστω η τομή των καθέτων από τα στις και αντίστοιχα, οι οποίες τέμνουν τις και στα . Να αποδειχθεί πως το ανήκει στην .
Αφού , έχουμε πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο ( είναι το μέσο του ).
Όμοια είναι και το εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο ( είναι το μέσο του ).
Έστω το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων με κέντρα και . Έχουμε πως το είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων, άρα είναι .
Όμως , άρα .
Αφού είναι , έχουμε πως και τα σημεία είναι συνευθειακά. Άρα το ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων και ισχύει ότι , άρα το είναι εγγράψιμο
Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί πως και το ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων δηλαδή αρκεί:
, δηλαδή αρκεί το να είναι εγγράψιμο.
Αρκεί
Έχουμε πως
Όμως και
Άρα και το ζητούμενο έπεται.
Houston, we have a problem!
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Πολύπλοκη καθετότητα
Από , έχουμε ότι το παραλληλλόγραμμο από το σημείο ως κοινό μέσον των διαγωνίων του είναι ορθογώνιο.
Παρατηρούμε τώρα, ότι οι δια των κορυφών του τριγώνου , κάθετες ευθείες επί των ευθειών πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , συντρέχουν στο σημείο και επομένως τα τρίγωνα είναι Ορθολογικά. Προκύπτει επομένως, ότι και οι δια των κορυφών του τριγώνου , κάθετες ευθείες επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , τέμνονται στο ίδιο σημείο το οποίο ταυτίζεται με το σημείο , λόγω και .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , περνάει από το σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Παρατηρούμε τώρα, ότι οι δια των κορυφών του τριγώνου , κάθετες ευθείες επί των ευθειών πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , συντρέχουν στο σημείο και επομένως τα τρίγωνα είναι Ορθολογικά. Προκύπτει επομένως, ότι και οι δια των κορυφών του τριγώνου , κάθετες ευθείες επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , τέμνονται στο ίδιο σημείο το οποίο ταυτίζεται με το σημείο , λόγω και .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , περνάει από το σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Πολύπλοκη καθετότητα
Νομίζω ότι έχω βρει λύση χωρίς να ισχύει απαραίτητα η καθετότητα των .
Απο το φέρνω παράλληλη στη που τέμνει την στο . Τα τρίγωνα όμοια γιατί
.
Εστω το ορθόκεντρο του και τα ύψη.
Εστω το ορθόκεντρο του και τα ύψη.
Αρκεί να δειχθεί ότι , ή ισοδύναμα .
Ομως, .
Οπότε, αρκεί ν.δ.ο. ή ισοδύναμα .
Ομως, .
Αρα, αρκεί ν.δ.ό.
Ομως, .
Αρα, αρκεί ν.δ.ό. , που προκύπτει από την ομοιότητα των .
Ενδεχομένως να μου έχει ξεφύγει κάτι.
Απο το φέρνω παράλληλη στη που τέμνει την στο . Τα τρίγωνα όμοια γιατί
.
Εστω το ορθόκεντρο του και τα ύψη.
Εστω το ορθόκεντρο του και τα ύψη.
Αρκεί να δειχθεί ότι , ή ισοδύναμα .
Ομως, .
Οπότε, αρκεί ν.δ.ο. ή ισοδύναμα .
Ομως, .
Αρα, αρκεί ν.δ.ό.
Ομως, .
Αρα, αρκεί ν.δ.ό. , που προκύπτει από την ομοιότητα των .
Ενδεχομένως να μου έχει ξεφύγει κάτι.
Κώστας
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πολύπλοκη καθετότητα
Πράγματι δεν απαιτείται η καθετότητα των , . Αυτό προκύπτει ΚΑΙ από λύση με Αναλυτική Γεωμετρία:
Θέτοντας , , , ΚΑΙ , έτσι ώστε η τομή των διαγωνίων του τραπεζίου να ανήκει στον άξονα των , προκύπτει ότι η τεταγμένη του είναι η : η τεταγμένη αυτή καθ' εαυτή ΔΕΝ μας ενδιαφέρει, θα μας χρειαστεί όμως η προκύπτουσα ισότητα .
Από την προκύπτει άμεσα ότι η τετμημένη του ισούται προς , οπότε από την προκύπτει (μέσω συντελεστών διεύθυνσης) η . Εύκολα προκύπτει τώρα ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ισούται προς και, λόγω της , προς . Δεδομένου ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ισούται προς , η ζητούμενη καθετότητα έχει αποδειχθεί.
Θέτοντας , , , ΚΑΙ , έτσι ώστε η τομή των διαγωνίων του τραπεζίου να ανήκει στον άξονα των , προκύπτει ότι η τεταγμένη του είναι η : η τεταγμένη αυτή καθ' εαυτή ΔΕΝ μας ενδιαφέρει, θα μας χρειαστεί όμως η προκύπτουσα ισότητα .
Από την προκύπτει άμεσα ότι η τετμημένη του ισούται προς , οπότε από την προκύπτει (μέσω συντελεστών διεύθυνσης) η . Εύκολα προκύπτει τώρα ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ισούται προς και, λόγω της , προς . Δεδομένου ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ισούται προς , η ζητούμενη καθετότητα έχει αποδειχθεί.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες