Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Μαρ 15, 2018 10:46 pm

Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) και έστω M, το μέσον της πλευράς του CD . Από τυχόν σημείο P της μεσοκάθετης ευθείας της πλευράς AB , φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των AM,\ BM, οι οποίες τέμνουν στα σημεεία S,\ T αντιστοίχως, τις εφαπτόμενες του κύκλου (O) στα σημεία A,\ B. Αποδείξτε ότι ST\parallel CD.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f=181_t=61273.png
Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
f=181_t=61273.png (21.02 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4029
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μαρ 16, 2018 7:53 am

vittasko έγραψε:
Πέμ Μαρ 15, 2018 10:46 pm
Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) και έστω M, το μέσον της πλευράς του CD . Από τυχόν σημείο P της μεσοκάθετης ευθείας της πλευράς AB , φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των AM,\ BM, οι οποίες τέμνουν στα σημεεία S,\ T αντιστοίχως, τις εφαπτόμενες του κύκλου (O) στα σημεία A,\ B. Αποδείξτε ότι ST\parallel CD.

Κώστας Βήττας.
Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.png
Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.png (55.43 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές
Καλημέρα Κώστα,

Έστω K\equiv AM\cap PS,L\equiv BM\cap PT και ας είναι {A}',{B}' και {S}',{T}' οι ορθές προβολές του O στις PA,PB και PS,PT αντίστοιχα.

Τότε από OA\bot SA και OB\bot TB σύμφωνα με το
https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... tras.shtml προκύπτει ότι

\dfrac{{KS'}}{{AA'}} = \dfrac{{PA}}{{PS}}:\left( 1 \right) και \dfrac{{LT'}}{{BB'}} = \dfrac{{PB}}{{PT}}:\left( 2 \right) και από \left( 1 \right):\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{KS'}}{{AA'}}}}{{\dfrac{{LT'}}{{BB'}}}} = \dfrac{{\dfrac{{PA}}{{PS}}}}{{\dfrac{{PB}}{{PT}}}}:\left( 3 \right),

Είναι PA=PB:\left( 4 \right) (OPμεσοκάθετης της AB ) και A{A}'=B{B}':\left( 5 \right) (προβολές των ίσων πλευρών OA=OB στις ίσες πλευρές PA,PB αντίστοιχα των προφανώς (λόγω συμμετρίας ως προς την OP ) των ίσων τριγώνων \vartriangle OAP,\vartriangle OBP

Από \left( 3 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),\left( 5 \right)}  \ldots \dfrac{{KS'}}{{LT'}} = \dfrac{{PT}}{{PS}}:\left( 6 \right)

Από την \left( 6 \right) σύμφωνα με το αντίστροφο του πιο πάνω θεωρήματος προκύπτει ότι OM\bot ST και με OM\bot CD ( απόστημα σε χορδή κύκλου) προκύπτει ότι ST\parallel CD και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Μαρ 16, 2018 10:51 am

Μιας και σχολάσαμε νωρίτερα σήμερα ας ανεβάσω μια άλλη λύση:

Λόγω του ότι OM\perp CD αρκεί OM\perp ST.

Από τη συνθήκη καθετότητας ξέρουμε πως αφού SP\perp AM είναι SM^2-SA^2=PM^2-PA^2.

Όμοια είναι και TM^2-TB^2=PM^2-PB^2.

Όμως PA=PB, άρα είναι:

SM^2-SA^2=TM^2-TB^2\Leftrightarrow MS^2-MT^2=SA^2-TB^2 (1).

Από Πυθαγόρειο στα ορθογώνια τρίγωνα SAO και TBO, έχουμε ότι SA^2=OS^2-OA^2 και TB^2=OT^2-OB^2.

Επομένως SA^2-TB^2=OS^2-OA^2-OT^2+OB^2=OS^2-OT^2 (2).

Από (1) και (2) έχουμε πως:

MS^2-MT^2=OS^2-OT^2 άρα από τη συνθήκη καθετότητας έχουμε ότι OM\perp ST.


Houston, we have a problem!
giannimani
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Μαρ 16, 2018 3:38 pm

steiner-vitt.png
steiner-vitt.png (52.4 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Έστω E το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου (O) στα A και B. Εφόσον οι κάθετες που άγονται από τις κορυφές E, S, T του \vartriangle EST στις πλευρές AB, MA, MB του \vartriangle MBA αντίστοιχα, διέρχονται από το ίδιο σημείο P, τότε και οι κάθετες που άγονται από τις κορυφές M, B, A του \vartriangle MBA στις πλευρές ST, ET, ES του \vartriangle EST θα διέρχονται, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, επίσης από το ίδιο σημείο. Εφόσον όμως, οι κάθετες στις ES και ET στα A, B τέμνονται στο κέντρο O, τότε και η κάθετος της ST από το Μ θα διέρχεται από το O. Αλλά τότε το OM απόστημα της χορδής CD, δηλαδή, OM \bot CD. Επομένως, ST \parallel CD.
Για την περίπτωση που το σημείο E δεν ορίζεται, δηλαδή, όταν τα A, B είναι αντιδιαμετρικά, τότε μπορούμε να αποδείξουμε την παραλληλία με το κριτήριο καθετότητας που χρησιμοποίησε και ο Δ. Αδαμόπουλος , που άλλωστε και η απόδειξη του Θ. Steiner βασίζεται σε αυτό το κριτήριο.
Συνημμένα
steiner-vitt_2.png
steiner-vitt_2.png (34.4 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης