Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

giannimani · #1

Έστω

και

τα κοινά σημεία δύο κύκλων $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$ , και

η κοινή εφαπτομένη τους (

και

τα σημεία επαφής, με το σημείο

να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας

από ότι το

). Έστω $O_{a}$ , $O_{b}$ τα περίκεντρα των τριγώνων CAD

,

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $O_{a}O_{b}$ ανήκει στην ευθεία

.

: probl1fin.png (67.42 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Ορέστης Λιγνός · #2

giannimani έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 5:06 pm
Έστω και τα κοινά σημεία δύο κύκλων $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$ , και η κοινή εφαπτομένη τους ( και τα σημεία επαφής, με το σημείο να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας από ότι το ). Έστω $O_{a}$ , $O_{b}$ τα περίκεντρα των τριγώνων , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $O_{a}O_{b}$ ανήκει στην ευθεία .
probl1fin.png

Καλησπέρα.

Είναι $\widehat{CBD}=180^\circ-\widehat{BCD}-\widehat{BDC}=180^\circ-\widehat{CAB}-\widehat{BAD}=180^\circ-\widehat{CAD}$ .

Επομένως, με Ν. Ημιτόνων, $2CO_a=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CAD}}=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CBD}}=2CO_b$ , άρα CO_a=CO_b

, και με $P \equiv O_aO_b \cap CD$ , το

είναι μέσο του O_aO_b

.

Αρκεί πλέον A,B,P

συνευθειακά, δηλαδή ότι η

τέμνει την

στο μέσο της, ή αλλιώς αν η

τέμνει την

στο

, είναι

.

Πράγματι, από δύναμη σημείου $P'C^2=P'B \cdot P'A=P'D^2 \Rightarrow P'C=P'D$ , ό.έ.δ.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 6:14 pm

giannimani έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 5:06 pm
Έστω και τα κοινά σημεία δύο κύκλων $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$ , και η κοινή εφαπτομένη τους ( και τα σημεία επαφής, με το σημείο να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας από ότι το ). Έστω $O_{a}$ , $O_{b}$ τα περίκεντρα των τριγώνων , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $O_{a}O_{b}$ ανήκει στην ευθεία .probl1fin.png
Καλησπέρα.

Είναι $\widehat{CBD}=180^\circ-\widehat{BCD}-\widehat{BDC}=180^\circ-\widehat{CAB}-\widehat{BAD}=180^\circ-\widehat{CAD}$ .

Επομένως, με Ν. Ημιτόνων, $2CO_a=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CAD}}=\dfrac{CD}{\sin \widehat{CBD}}=2CO_b$ , άρα , και με $P \equiv O_aO_b \cap CD$ , το είναι μέσο του .

Αρκεί πλέον συνευθειακά, δηλαδή ότι η τέμνει την στο μέσο της, ή αλλιώς αν η τέμνει την στο , είναι .

Πράγματι, από δύναμη σημείου $P'C^2=P'B \cdot P'A=P'D^2 \Rightarrow P'C=P'D$ , ό.έ.δ.

Πράγματι το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα εύκολο. Απλά να πω ότι η παραπληρωματικότητα των γωνιών των τριγώνων (όπως όμορφα την αποδεικνύεις Ορέστη) οδηγεί άμεσα στην ισότητα των δύο κύκλων και συνεπώς στο ρόμβο κ.λ.π

Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

Re: Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

Re: Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

Μέλη σε σύνδεση