Λήμμα!;
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Λήμμα!;
Έστω δύο σημεία και κύκλοι, με την ιδιότητα να διέρχονται όλοι τους από τα σημεία .
Φέρνουμε από το δύο ευθείες και . Η τέμνει τους κύκλους στα σημεία αντίστοιχα, ενώ η στα αντίστοιχα. Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά!
Το βρήκα παίζοντας με το Geogebra! Στην πραγματικότητα μπορεί να γενικευτεί και να ισχύει όχι μόνο για μέσα, αλλά και για σημεία που κόβουν τα τμήματα σε ίσους λόγους.
Δυστυχώς δεν έχω βρει κάποιο τρόπο να το λύσω . Το βάζω σε αυτή την κατηγορία, αλλά μπορεί και να υπάρχει κάποια απλή λύση που να μου διαφεύγει.
Φέρνουμε από το δύο ευθείες και . Η τέμνει τους κύκλους στα σημεία αντίστοιχα, ενώ η στα αντίστοιχα. Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά!
Το βρήκα παίζοντας με το Geogebra! Στην πραγματικότητα μπορεί να γενικευτεί και να ισχύει όχι μόνο για μέσα, αλλά και για σημεία που κόβουν τα τμήματα σε ίσους λόγους.
Δυστυχώς δεν έχω βρει κάποιο τρόπο να το λύσω . Το βάζω σε αυτή την κατηγορία, αλλά μπορεί και να υπάρχει κάποια απλή λύση που να μου διαφεύγει.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Λήμμα!;
Έγινε διόρθωση στην αρχική ανάρτηση. Έβαλα μια πιο ειδική περίπτωση, επειδή η γενικευμένη τελικά δεν ίσχυε (τα πολλά σχήματά μου στο Geogebra δεν το αποκάλυψαν εξαρχής). Ευχαριστώ τον κύριο nikkru, που επισήμανε το λάθος. Ελπίζω τώρα αυτό που έβαλα να ισχύει... (τουλάχιστον όλα τα σχήματα στο Geogebra μέχρι τώρα δεν έχουν πρόβλημα )
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Λήμμα!;
Αν δεν έχω κάνει καμία πατάτα η λύση είναι σχετικά απλή.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 16, 2018 1:11 pmΈστω δύο σημεία και κύκλοι, με την ιδιότητα να διέρχονται όλοι τους από τα σημεία .
Φέρνουμε από το δύο ευθείες και . Η τέμνει τους κύκλους στα σημεία αντίστοιχα, ενώ η στα αντίστοιχα. Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά!
Το βρήκα παίζοντας με το Geogebra! Στην πραγματικότητα μπορεί να γενικευτεί και να ισχύει όχι μόνο για μέσα, αλλά και για σημεία που κόβουν τα τμήματα σε ίσους λόγους.
Δυστυχώς δεν έχω βρει κάποιο τρόπο να το λύσω . Το βάζω σε αυτή την κατηγορία, αλλά μπορεί και να υπάρχει κάποια απλή λύση που να μου διαφεύγει.
Αρκεί να δεις το πρόβλημα από κατάλληλη οπτική.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Λήμμα!;
Ναι κύριε Σταύρο έχετε δίκιο. Νομίζω πως το έλυσα. Απλά προσπαθούσα τις προηγούμενες μέρες μια γενίκευση αυτού του προβλήματος, η οποία όμως τελικά δεν ισχύει . Τώρα που προσπάθησα αυτό, βγήκε σχετικά γρήγορα. Θα περιμένω λίγες μέρες μήπως μπει κάποια λύση και μετά θα βάλω την δικιά μου.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 16, 2018 7:41 pm
Αν δεν έχω κάνει καμία πατάτα η λύση είναι σχετικά απλή.
Αρκεί να δεις το πρόβλημα από κατάλληλη οπτική.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Λήμμα!;
Η αρχική λύση που έκανα ήταν με Αναλυτική Γεωμετρία.
Θα γράψω μια λύση με Μιγαδικούς
(Ιδιες είναι απλώς με Μιγαδικούς έχει λιγότερο γράψιμο)
Θεωρούμε ότι τα κοινά σημεία των κύκλων είναι τα
Ετσι τα κέντρα τους θα είναι στον πραγματικό άξονα και η εξίσωση
ενός από αυτούς θα είναι
Οι δύο ευθείες θα έχουν εξισώσεις
και
Οπου
(Να σημειώσω ότι )
Η πρώτη ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν στό
ενώ η δεύτερη για στο
Μέσο του είναι το
όπου παράσταση που εξαρτάται μόνο από τα
Αν θέσουμε
τότε εύκολα βλέπουμε ότι το μέσο βρίσκεται πάνω στην ευθεία
Η ίδια απόδειξη δουλεύει αν δεν πάρουμε το μέσο αλλά ένα σημείο που χωρίζει σε σταθερό λόγο.
Θα γράψω μια λύση με Μιγαδικούς
(Ιδιες είναι απλώς με Μιγαδικούς έχει λιγότερο γράψιμο)
Θεωρούμε ότι τα κοινά σημεία των κύκλων είναι τα
Ετσι τα κέντρα τους θα είναι στον πραγματικό άξονα και η εξίσωση
ενός από αυτούς θα είναι
Οι δύο ευθείες θα έχουν εξισώσεις
και
Οπου
(Να σημειώσω ότι )
Η πρώτη ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν στό
ενώ η δεύτερη για στο
Μέσο του είναι το
όπου παράσταση που εξαρτάται μόνο από τα
Αν θέσουμε
τότε εύκολα βλέπουμε ότι το μέσο βρίσκεται πάνω στην ευθεία
Η ίδια απόδειξη δουλεύει αν δεν πάρουμε το μέσο αλλά ένα σημείο που χωρίζει σε σταθερό λόγο.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Λήμμα!;
Ωραία λύση, αλλά όταν είπατε απλή λύση, περίμενα καμιά απλή μετρική ή κατασκευαστική, όχι μιγαδικούς (αιρετικά εργαλεία ) .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 23, 2018 12:24 pmΗ αρχική λύση που έκανα ήταν με Αναλυτική Γεωμετρία.
Θα γράψω μια λύση με Μιγαδικούς
(Ιδιες είναι απλώς με Μιγαδικούς έχει λιγότερο γράψιμο)
Θεωρούμε ότι τα κοινά σημεία των κύκλων είναι τα
Ετσι τα κέντρα τους θα είναι στον πραγματικό άξονα και η εξίσωση
ενός από αυτούς θα είναι
Οι δύο ευθείες θα έχουν εξισώσεις
και
Οπου
(Να σημειώσω ότι )
Η πρώτη ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν στό
ενώ η δεύτερη για στο
Μέσο του είναι το
όπου παράσταση που εξαρτάται μόνο από τα
Αν θέσουμε
τότε εύκολα βλέπουμε ότι το μέσο βρίσκεται πάνω στην ευθεία
Η ίδια απόδειξη δουλεύει αν δεν πάρουμε το μέσο αλλά ένα σημείο που χωρίζει σε σταθερό λόγο.
Η δικιά μου λύση:
Καταρχάς θα χρησιμοποιήσουμε την εξής ιδιότητα-λήμμα:
Έστω συνευθειακά σημεία και φέρνουμε από τα παράλληλες ευθείες. Σε κάθε μια από αυτές παίρνουμε τα σημεία αντίστοιχα.
Αν , τότε για να είναι και τα συνευθειακά πρέπει και αντίστροφα.
Απόδειξη:
Φέρνουμε από τα και κάθετες ευθείες στις τρεις παράλληλες. Έστω πως τέμνουν λοιπόν την στα αντίστοιχα και την στα αντίστοιχα.
Ισχύει προφανώς από όμοια τρίγωνα πως .
Για να είναι τα συνευθειακά πρέπει και αντίστροφα.
Όμως προφανώς , άρα πρέπει
Ισχύει ότι , άρα πρέπει .
Όμως , άρα καταλήγουμε στο ότι πρέπει για να είναι τα συνευθειακά και αντίστροφα.
Πίσω στην άσκηση:
Θα αποδείξουμε την άσκηση για τρεις κύκλους και επαγωγικά αποδεικνύεται και για .
Φέρνουμε από το μια ευθεία η οποία τέμνει τους κύκλους στα σημεία και .
Παρατηρούμε πως οι και είναι παράλληλες. Αυτό ισχύει επειδή , από τα εγγράψιμα και .
Άρα γενικότερα οι , και είναι παράλληλες.
Για ακριβώς τον ίδιο λόγο παράλληλες είναι και , και .
Θεωρούμε τα μέσα των , και αντίστοιχα. Αυτά είναι συνευθειακά, καθώς η ευθειά που διέρχεται από οποιαδήποτε δύο από αυτά περνάει από σταθερό σημείο, το σημείο τομής των και (αυτό βασίζεται σε γνωστό λήμμα).
Παρατηρούμε ακόμα πως η είναι παράλληλη στην , η είναι παράλληλη στην και η είναι παράλληλη στην και λόγω της παραλληλίας των , και , προκύπτει πως και οι είναι παράλληλες. Αρκεί να εφαρμόσουμε τώρα τον ισχυρισμό που αποδείξαμε παραπάνω.
Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί πως (το δεύτερο μέρος προέκυψε από Θεώρημα Θαλή), το οποίο ισχύει, από το αντίστροφο του λήμματος για τις συνευθειακές τριάδες και .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες