Μέσο επί της μεσοκαθέτου

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9986
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέσο επί της μεσοκαθέτου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:01 am

Μέσο  επί της  μεσοκαθέτου.png
Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png (19.65 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Οι κύκλοι (O,R) και (O,r),r<R είναι ομόκεντροι , το S τυχόν σημείο του μεγάλου κύκλου

και η AB διάμετρος του μικρού . Οι SA,SB τέμνουν τον μεγάλο κύκλο στα C,D αντίστοιχα .

Οι εφαπτόμενες του μεγάλου κύκλου στα C,D τέμνονται στο σημείο T .

α) Δείξτε ότι το μέσο M του τμήματος ST , βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο της AB .

β) Αν R=3,r=2 , πώς θα επιλέξουμε το S , ώστε το M να βρεθεί πάνω στον μικρό κύκλο ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μέσο επί της μεσοκαθέτου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Ιούλ 12, 2018 3:37 pm

Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png
Μέσο επί της μεσοκαθέτου.png (39.37 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
α) Φέρνουμε από το S παράλληλη στη AB η οποία τέμνει το μεγάλο κύκλο στο X.

Η δέσμη S(A, B, O, X) είναι αρμονική, αφού O μέσο του AB.

Έστω S' το αντιδιαμετρικό του S στο "μεγάλο κύκλο".

Το OM ενώνει μέσα στο τρίγωνο SS'T, άρα OM//S'T.

Φέρνουμε ακόμα την εφαπτομένη στο μεγάλο κύκλο από το S' και έστω πως τέμνει την CD στο K.

Θα αποδείξουμε πως η δέσμη S'(C, D, K, T) είναι αρμονική.

Έστω ότι S'T τέμνει την CD στο L.

Θέλουμε να αποδείξουμε πως η τετράδα (C, D, K, L) είναι αρμονική. Αρκεί το L να ανήκει στην πολική του K ως προς το "μεγάλο κύκλο".

Θα αποδείξουμε ειδικότερα πως η ευθεία S'L, δηλαδή η S'T, είναι η πολική του K. Προφανώς το S' ανήκει στην πολική του K, αφού η S'K είναι εφαπτόμενη στο "μεγάλο κύκλο". Θέλουμε να αποδείξουμε πως και το T ανήκει στην πολική του K. Το K όμως ανήκει στην πολική του T που είναι η CD. Άρα από La Hire προκύπτει ο ισχυρισμός.

Έστω τώρα πως η MO δεν είναι κάθετη στην AB. Άρα ούτε S'T είναι κάθετη στην AB, άρα η S'T δεν είναι κάθετη ούτε στην SX.

Φέρνουμε από το S κάθετη στην S'T, και έστω πως τέμνονται στο Y, με τη SY να μην είναι τώρα παράλληλη με την AB.

Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:

Αν έχουμε μια αρμονική δέσμη και μια άλλη δέσμη, της οποίας κάθε ευθεία είναι κάθετη με μια διαφορετική ευθεία της πρώτης δέσμης, τότε και η δεύτερη δέσμη είναι αρμονική (δεν το διατύπωσα πολύ επίσημα, αλλά φαίνεται από την εφαρμογή του παρακάτω).

Ειδικότερα η δέσμη S'(C, D, K, T) είναι αρμονική. Αφού S'C\perp SA, S'D\perp SB (SS' διάμετρος του μεγάλου κύκλου), S'K\perp S'O\equiv SO (αφού η S'K είναι εφαπτόμενη στον "μεγάλο κύκλο") και SY\perp S'T, από το λήμμα έχουμε πως και η δέσμη S(A, B, O, Y) είναι αρμονική.

Αφού όμως O μέσο του AB πρέπει SY//AB, άτοπο.

Άρα πράγματι MO\perp AB.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης