Παραλλαγή σε ΙΜΟ

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7074
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Παραλλαγή σε ΙΜΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 17, 2018 2:19 pm

Παραλλαγή σε ΙΜΟ.png
Παραλλαγή σε ΙΜΟ.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
Έστω H, G, O το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα ενός οξυγώνιου

τριγώνου ABC. Αν HGO||BC και η BH τέμνει την AO στο K, να δείξετε ότι GH=GK.



Ζητείται λύση χωρίς τη χρήση της IMO Shortlist 2017 G3.



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm

Έστω E η τομή των AO,BC.Είναι \angle AOH =\angle AEB,\angle KHO=\angle HAC(κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα \angle KHO=\angle OAB(ισογώνια AH,AO) και άρα τα τρίγωνα OHK,EAB είναι όμοια.\frac{AO}{OE}=2,λόγω της παραλληλίας, ενώ και \frac{HG}{GO}=2(ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO,άρα και KG=HG.


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1981
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Ιούλ 17, 2018 11:44 pm

min## έγραψε:
Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
Έστω E η τομή των AO,BC.Είναι \angle AOH =\angle AEB,\angle KHO=\angle HAC(κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα \angle KHO=\angle OAB(ισογώνια AH,AO) και άρα τα τρίγωνα OHK,EAB είναι όμοια.\frac{AO}{OE}=2,λόγω της παραλληλίας, ενώ και \frac{HG}{GO}=2(ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO,άρα και KG=HG.
Απόδειξη ζωγραφιά. :coolspeak:

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7074
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλλαγή σε ΙΜΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 20, 2018 10:29 am

min## έγραψε:
Τρί Ιούλ 17, 2018 9:10 pm
Έστω E η τομή των AO,BC.Είναι \angle AOH =\angle AEB,\angle KHO=\angle HAC(κάθετες οι πλευρές των γωνιών).Άρα \angle KHO=\angle OAB(ισογώνια AH,AO) και άρα τα τρίγωνα OHK,EAB είναι όμοια.\frac{AO}{OE}=2,λόγω της παραλληλίας, ενώ και \frac{HG}{GO}=2(ομοιοθεσία-γνωστή πρόταση), κάτι που σημαίνει ότι τα O,G είναι αντίστοιχα σημεία των ομοίων τριγώνων και επειδή BO=AO,άρα και KG=HG.
Κομψή μέσα στην απλότητά της :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης