Ωραίο

min## · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και σημεία P,Q

στο επίπεδο.Έστω και $A_{1}B_{1}C_{1},A_{2}B_{2}C_{2},$ τα σεβιανά των P,Q

ως προς το ABC

αντίστοιχα.Αν $A'= B_{1}C_{1} \cap B_{2}C_{2}$ και όμοια και για τα B',C'

,ν.δ.ο. τα A,B',C', /A',B,C'/A',B',C

είναι συνευθειακές τριάδες.

#2

min## έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 08, 2018 11:46 am
Έστω τρίγωνο και σημεία στο επίπεδο.Έστω και $A_{1}B_{1}C_{1},A_{2}B_{2}C_{2},$ τα σεβιανά των ως προς το αντίστοιχα.Αν $A'= B_{1}C_{1} \cap B_{2}C_{2}$ και όμοια και για τα ,ν.δ.ο. τα είναι συνευθειακές τριάδες.

Τα σημεία ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},{{C}_{1}},{{C}_{2}}$ είναι σημεία κωνικής τομής (γνωστή πρόταση) οπότε από τα αντίστοιχα μη κυρτά εγγεγραμμένα σε αυτή εξάγωνα από το θεώρημα του Pascal προκύπτουν οι ζητούμενες συνευθειακότητες

Στάθης

Υ.Σ. Η παραπάνω απόδειξη δεν είναι σωστή. Δεν προκύπτει η συνευθειακότητα από Θεώρημα Pascal. Δεν υπάρχουν εξάγωνα εγγεγραμμένα σε κωνική (κυρτά ή μη κυρτά) που να οδηγούν στη συνευθειακότητα των ζητουμένων σημείων

Την αφήνω για να φαίνεται το λάθος!

Ευχαριστώ θερμά τον min## για την επισήμανση

Στάθης

#3

min## έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 08, 2018 11:46 am
Έστω τρίγωνο και σημεία στο επίπεδο.Έστω και $A_{1}B_{1}C_{1},A_{2}B_{2}C_{2},$ τα σεβιανά των ως προς το αντίστοιχα.Αν $A'= B_{1}C_{1} \cap B_{2}C_{2}$ και όμοια και για τα ,ν.δ.ο. τα είναι συνευθειακές τριάδες.

Ας δώσουμε και μια σωστή λύση

: ωραίο.png (39.25 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Έστω $K\equiv A{{A}_{2}}\cap {{B}_{2}}{{C}_{2}},L\equiv A{{A}_{1}}\cap {{B}_{1}}{{C}_{1}}$ τότε από τα πλήρη τετράπλευρα $A{{B}_{2}}Q{{C}_{2}}BC$ και $A{{B}_{1}}P{{C}_{1}}BC$ προκύπτει ότι οι σειρές $\left( A,K,Q,{{A}_{2}} \right)$ και $\left( A,L,P,{{A}_{1}} \right)$ είναι αρμονικές (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) οπότε και οι δέσμες ${{C}_{2}}.AKQ{{A}_{2}}$ και ${{C}_{1}}.ALP{{A}_{1}}$ είναι αρμονικές και με ${{C}_{2}}A\equiv {{C}_{1}}A\equiv AB$ (κοινή τους ακτίνα) προκύπτει ότι τα σημεία τομής των ομολόγων άλλων τριών ακτινών τους θα είναι συνευθειακά , δηλαδή τα $A' \equiv {C_2}K \cap {C_1}L \equiv {C_2}{B_2} \cap {C_1}{B_1},C \equiv {C_2}Q \cap {C_1}P,$ $B' \equiv {C_2}{A_2} \cap {C_1}{A_1}$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. (ακριβώς όμοια και για τις άλλες δύο τριάδες σημείων)

Στάθης

min## · #4

Συνεχίζω:Ένα αποτέλεσμα το οποίο έχει ενδιαφέρον να αποδειχτεί και ανεξάρτητα(δίνεται ελευθερία στον τρόπο λύσης):Τυχαία ευθεία που περνάει από το

τέμνει τις AB,AC

στα

αντίστοιχα.Να δειχτεί ότι οι C3B',B3C',BC

συντρέχουν και επιπλέον ότι το A3B3C3

είναι σεβιανό του ABC

.

Ωραίο

Ωραίο

Re: Ωραίο

Re: Ωραίο

Re: Ωραίο

Μέλη σε σύνδεση