ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 122

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα 312 από το αρχείο του Θάνου.

Αν A,B,C

είναι γωνίες τριγώνου ,να βρείτε τις άκρες τιμές της παράστασης

$K=cos\left ( A-B \right )cos\left (B-C \right )cos\left ( C-A \right )$

STOPJOHN · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 23, 2018 4:59 pm
Σας προτείνω το θέμα 312 από το αρχείο του Θάνου.

Αν είναι γωνίες τριγώνου ,να βρείτε τις άκρες τιμές της παράστασης

$K=cos\left ( A-B \right )cos\left (B-C \right )cos\left ( C-A \right )$

Καλημέρα Τηλέμαχε

$2K=[cos(A-C)+cos(A+C-2B)].cos(C-A)\Leftrightarrow 4K=2cos(A-C).cos(C-A)-2cos3B.cos(C-A)\Leftrightarrow 4K-1=cos2(A- C)+cos2(A-B)+cos2(C-B)\Leftrightarrow 2K+1=cos^{2} (A-C)+cos^{2}(A-B)+cos^{2}(C-B),(*)$

Για τις γωνίες του τριγώνου ισχύουν $-\pi < A-C< \pi$
Οπότε είναι $0\leq 2K+1\leq 3\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\leq K\leq 1$

Για
$K=1, 3=cos^{2}(A-C)+cos^{2}(A-B)+cos^{2}(C-B)\Leftrightarrow sin(A-C)=0,sin(A-B)=0,sin(C-B)=0\Rightarrow A=B=C$
Δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

Για
$K=-\dfrac{1}{2},coc^{2}(A-C)=0,cos^{2}(A-B)=0,cos^{2}(C-B)=0$
και οι σχέσεις αυτές δίνουν $A-C=\dfrac{\pi }{2}, A-B=\dfrac{\pi }{2}, C-B=\dfrac{\pi }{2},$
και το σύστημα είναι αδύνατο

Αρα η μέγιστη τιμη της παράστασης K=1,A=B=C

και ελαχιστη τιμή δεν υπάρχει ,αλλα εχει κάτω φράγμα

Γιάννης

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 122

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 122

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 122

Μέλη σε σύνδεση