Καθετότητα και συντρέχεια, από Lemoine

[sakis1963]

GEOMETRIA206=FB2237.png (38.23 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Σε τρίγωνο , ο κύκλος με διάμετρο τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα.

Αν είναι τα σημεία των τριγώνων αντίστοιχα, δείξτε οτι :

α.

β. , όπου

γ. Οι συντρέχουν στο βαρύκεντρο , του , όπου ορίζονται κυκλικά & αντίστοιχα με το

[min##]

α) Είναι ,όπου οι τομές των εφαπτομένων των περίκυκλων των στα και αντίστοιχα,πράγμα που προκύπτει από θ.θαλή και την ομοιότητα των δύο τριγώνων.Θα δείξω ότι το είναι το μέσο του .Αρκεί να δειχτεί στο σχήμα ότι .Όμως κλπ.Είναι τώρα φανερό ότι , κάθετες.
β)Είναι γνωστό ότι το ανήκει στη ,όπου το μέσο του ύψους και προφανώς τα
είναι συνευθειακά.Από γνωστή πρόταση για τραπέζια,η διχοτομεί την .
γ)Όπως προανέφερα,η περνάει από το μέσο της κλπ...