Δύσκολη σταθερότητα

KARKAR · #1

Πάνω στη μεσοκάθετο τμήματος

θεωρούμε σημείο

, ώστε : $MC>\dfrac{AB}{2}$ .

Γράφω τον κύκλο (A,B,C)

του οποίου οι εφαπτόμενες στα A,B

, τέμνονται στο

.

Σε σημείο

, το οποίο κινείται στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ φέρω την εφαπτόμενη , η οποία

τέμνει τις SA,SP

στα

. Οι

τέμνουν το

στα

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το μήκος του τμήματος

παραμένει σταθερό .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Δεν είναι πολύ δύσκολο...

Έστω

το σημείο τομής της

και της

.

Παρατηρούμε πως η

είναι αντιπαράλληλη της της

στο τρίγωνο CAD

. Αυτό ισχύει αφού $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{SAC}$ .

Οπότε αφού η

είναι συμμετροδιάμεσος έχουμε ότι το

είναι μέσο του

. Όμοια το

είναι μέσο του

.

Οπότε $AL+LS+SN+NB=2\cdot (LS+SN)\Leftrightarrow AB=2\cdot LN\Leftrightarrow LN=\dfrac{AB}{2}$ άρα είναι σταθερό.