Μεγάλες κατασκευές 16

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10671
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 16

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 13, 2018 8:20 pm

Μεγάλες  κατασκευές 16.png
Μεγάλες κατασκευές 16.png (8.27 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές
Στο εσωτερικό της σαρανταπεντάρας γωνίας \widehat{xOy} βρίσκονται τα σημεία S και P .

Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC με το A στην Ox και τα B,C στην Oy ,

έτσι ώστε οι ( ίσες ) AB,AC να διέρχονται , η μία από το P και η άλλη από το S .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5351
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Νοέμ 13, 2018 11:50 pm

Μία σκέψη:

Αν Q το συμμετρικό του P ως πρός την Ox, τότε το σημείο A προσδιορίζεται ως τομή του ημικυκλίου με διάμετρο SQ με την Ox\;\;(2\angle OAP +\angle PAS =90^{\circ }) ...
Θα επιστρέψουμε για λεπτομερή ανάπτυξη.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10671
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 14, 2018 7:55 am

Μεγάλες  κατασκευές 16.png
Μεγάλες κατασκευές 16.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές
Το σχήμα ...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6602
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 14, 2018 1:47 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 13, 2018 8:20 pm
Μεγάλες κατασκευές 16.pngΣτο εσωτερικό της σαρανταπεντάρας γωνίας \widehat{xOy} βρίσκονται τα σημεία S και P .

Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC με το A στην Ox και τα B,C στην Oy ,

έτσι ώστε οι ( ίσες ) AB,AC να διέρχονται , η μία από το P και η άλλη από το S .

Μετά την εκπληκτικής απλότητας και ομορφιάς λύση του φίλου Σωτήρη.


Αφού τα σημεία P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S είναι σταθερά θα είναι σταθερές οι προβολές τους K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H στην Ox και προφανώς τα ευθύγραμμα τμήματα :
Μεγάλες κατασκευές 16.png
Μεγάλες κατασκευές 16.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

PK = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SH = h\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KH = b . Τα ορθογώνια τρίγωνα HSA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KAP είναι όμοια

Απ’ όπου : \dfrac{{AS}}{{AP}} = \dfrac{{HA}}{{KP}} = \dfrac{{SH}}{{KA}} \Rightarrow \dfrac{{AS}}{{AP}} = \dfrac{{HA}}{a} = \dfrac{h}{{b + HA}} .

Το HA\,\, κατασκευάζεται και υπολογίζεται: \boxed{HA = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} + 4ah} }}{2}} .

Έτσι προσδιορίζεται το σημείο D της διχοτόμου του τριγώνου APS και άρα η κάθετη απ’ αυτό στην Oy που τέμνει την Ox στο ζητούμενο σημείο A.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 14, 2018 2:58 pm

Χαιρετώ τους φίλους!

Ας το γενικεύσουμε λοιπόν, για οποιαδήποτε οξεία γωνία x\widehat Oy.
Μεγάλες κατασκευές.16.png
Μεγάλες κατασκευές.16.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Νοέμ 14, 2018 3:24 pm

Διαβάζοντας την λύση του Σωτήρη πιο πάνω, η γενίκευση στην οποία αναφέρεται ο Γιώργος, δεν δυσκολεύει καθόλου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το πρόβλημα έχει πάντοτε δύο λύσεις. ( Εξαιρουμένης της περίπτωσης όταν PS\perp Oy για την οποία προκύπτει B\equiv C , όπως εύστοχα μου επεσήμανε ο Γιώργος ).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6602
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 14, 2018 5:48 pm

Γενίκευση _μεγάλες κατασκευές 16.png
Γενίκευση _μεγάλες κατασκευές 16.png (23.65 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές



Στη περίπτωση που η γωνία \widehat O έχει μέτρο σταθερό αλλά όχι 45^\circ έχω την δια διαδικασία με μόνη διαφορά ότι,

οι PK\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SH είναι παράλληλες και σχηματίζουν με την Oy ίση γωνία με την \widehat O


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5351
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Νοέμ 15, 2018 8:26 am

Καλημέρα:

Στη γενική περίπτωση που έχουμε ως δεδομένη γωνία \angle yOx = u, για να υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο θα πρέπει η κάθε μία από τις ίσες παρά τη βάση γωνίες του να είναι οξείες, οπότε θα πρέπει u < {90^ \circ }.
Τότε η μέθοδος επίλυσης είναι ίδια απλά εδώ το σημείο A ορίζεται ως τομή της Ox με τόξο που τα σημεία του «βλέπουν» το ευθύγραμμο τμήμα SQ υπό γωνία {180^ \circ } - 2u.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 16, 2018 1:42 pm

Για τη γενίκευση, αφού πρώτα αποδώσω τα εύσημα στον Θανάση :clap2: για την πολύ ωραία αυτή άσκηση

και στον Σωτήρη :clap2: για την εμπνευσμένη κατασκευή του.
Μεγάλες κατασκευές 16.png
Μεγάλες κατασκευές 16.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
Από τα P, S φέρνω P_1P_2, S_1S_2 κάθετες στην Oy όπως φαίνεται στο σχήμα. Το A εντοπίζεται ως σημείο του τμήματος P_1S_1,

ώστε A\widehat PP_1=A\widehat SS_1. (η κατασκευή εδώ.) Πράγματι, η διχοτόμος της \widehat A είναι κάθετη στην Oy, άρα το ABC είναι ισοσκελές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης