Μεγάλες κατασκευές 16

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 16.png (8.27 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Στο εσωτερικό της σαρανταπεντάρας γωνίας $\widehat{xOy}$ βρίσκονται τα σημεία

και

.

Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με το

στην

και τα

στην

,

έτσι ώστε οι ( ίσες ) AB,AC

να διέρχονται , η μία από το

και η άλλη από το

.

S.E.Louridas · #2

Μία σκέψη:

Αν

το συμμετρικό του

ως πρός την

, τότε το σημείο

προσδιορίζεται ως τομή του ημικυκλίου με διάμετρο

με την $Ox\;\;(2\angle OAP +\angle PAS =90^{\circ }) ...$
Θα επιστρέψουμε για λεπτομερή ανάπτυξη.

KARKAR · #3

: Μεγάλες κατασκευές 16.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Το σχήμα ...

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 8:20 pm
Μεγάλες κατασκευές 16.pngΣτο εσωτερικό της σαρανταπεντάρας γωνίας $\widehat{xOy}$ βρίσκονται τα σημεία και .

Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με το στην και τα στην ,

έτσι ώστε οι ( ίσες ) να διέρχονται , η μία από το και η άλλη από το .

Μετά την εκπληκτικής απλότητας και ομορφιάς λύση του φίλου Σωτήρη.

Αφού τα σημεία $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ είναι σταθερά θα είναι σταθερές οι προβολές τους $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ στην

και προφανώς τα ευθύγραμμα τμήματα :

: Μεγάλες κατασκευές 16.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

$PK = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SH = h\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KH = b$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $HSA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KAP$ είναι όμοια

Απ’ όπου : $\dfrac{{AS}}{{AP}} = \dfrac{{HA}}{{KP}} = \dfrac{{SH}}{{KA}} \Rightarrow \dfrac{{AS}}{{AP}} = \dfrac{{HA}}{a} = \dfrac{h}{{b + HA}}$ .

Το $HA\,\,$ κατασκευάζεται και υπολογίζεται: $\boxed{HA = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} + 4ah} }}{2}}$ .

Έτσι προσδιορίζεται το σημείο

της διχοτόμου του τριγώνου APS

και άρα η κάθετη απ’ αυτό στην

που τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

.

#5

Χαιρετώ τους φίλους!

Ας το γενικεύσουμε λοιπόν, για οποιαδήποτε οξεία γωνία $x\widehat Oy.$

: Μεγάλες κατασκευές.16.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

#6

Διαβάζοντας την λύση του Σωτήρη πιο πάνω, η γενίκευση στην οποία αναφέρεται ο Γιώργος, δεν δυσκολεύει καθόλου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το πρόβλημα έχει πάντοτε δύο λύσεις. ( Εξαιρουμένης της περίπτωσης όταν $PS\perp Oy$ για την οποία προκύπτει $B\equiv C$ , όπως εύστοχα μου επεσήμανε ο Γιώργος ).

#7

: Γενίκευση _μεγάλες κατασκευές 16.png (23.65 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Στη περίπτωση που η γωνία $\widehat O$ έχει μέτρο σταθερό αλλά όχι $45^\circ$ έχω την δια διαδικασία με μόνη διαφορά ότι,

οι $PK\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SH$ είναι παράλληλες και σχηματίζουν με την

ίση γωνία με την $\widehat O$

S.E.Louridas · #8

Καλημέρα:

Στη γενική περίπτωση που έχουμε ως δεδομένη γωνία $\angle yOx = u$ , για να υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο θα πρέπει η κάθε μία από τις ίσες παρά τη βάση γωνίες του να είναι οξείες, οπότε θα πρέπει $u < {90^ \circ }.$
Τότε η μέθοδος επίλυσης είναι ίδια απλά εδώ το σημείο

ορίζεται ως τομή της

με τόξο που τα σημεία του «βλέπουν» το ευθύγραμμο τμήμα

υπό γωνία ${180^ \circ } - 2u.$

#9

Για τη γενίκευση, αφού πρώτα αποδώσω τα εύσημα στον Θανάση

για την πολύ ωραία αυτή άσκηση

και στον Σωτήρη

για την εμπνευσμένη κατασκευή του.

: Μεγάλες κατασκευές 16.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Από τα

φέρνω

κάθετες στην

όπως φαίνεται στο σχήμα. Το

εντοπίζεται ως σημείο του τμήματος P_1S_1,

ώστε $A\widehat PP_1=A\widehat SS_1.$ (η κατασκευή εδώ.) Πράγματι, η διχοτόμος της $\widehat A$ είναι κάθετη στην Oy,

άρα το

είναι ισοσκελές.

Μεγάλες κατασκευές 16

Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Μέλη σε σύνδεση