Επαφή με το άγνωστο

KARKAR · #1

: Επαφή με το άγνωστο.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Οι κύκλοι (O,R)

και

, εφάπτονται εξωτερικά στο

και έστω

ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Η

τέμνει τον (K)

στο

και την

κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων στο

, ενώ η

τέμνει τον (O)

στο

.

Δείξτε ότι ο κύκλος (S,E,D)

εφάπτεται των αρχικών και υπολογίστε την ακτίνα του .

#2

Ας είναι

το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο δεδομένων κύκλων ,Η υπ αντιδιαμετρικό του

. Θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} S{A^2} = SD \cdot SC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S{A^2} = SE \cdot SB \hfill \\ KT = \frac{{r(R + r)}}{{R - r}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Συνεπώς το EBCD

είναι εγγράψιμο και άρα $BE \bot ED$ οπότε και το SECT

είναι εγγράψιμο . Ο κύκλος λοιπόν διαμέτρου

διέρχεται από το

.

: Επαφή με το άγνωστο.png (35.15 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Ενώ τα σημεία : D,E,H

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Ας είναι

το κέντρο αυτού του κύκλου και

η ακτίνα του.

Αφού τα ορθογώνια τρίγωνα $CKT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKS$ έχουν KC = KA

και τις απέναντι γωνίες ίσες θα είναι ίσα

Έτσι $KT = KS \Rightarrow \boxed{\frac{{r(R + r)}}{{R - r}} = 2x + r \Rightarrow x = \frac{{{r^2}}}{{R - r}}}\,\,(1)$ .

Τέλος επειδή $HB//SD \Rightarrow \widehat \omega = \widehat \theta$ δηλαδή $\widehat {OEB} = \widehat {MES}$ και άρα τα σημεία E,O,M

είναι συνευθειακά .

Δηλαδή ο κύκλος (M,x)

εφάπτεται εξωτερικά στους δύο δεδομένους κύκλους με ακτίνα που δίδεται από τη σχέση (1)

Παρατήρηση :

Η επαφή του κύκλου (E,S,D)

προκύπτει και με αντιστροφή.

[attachment=1]Επαφή με το άγνωστο_Με αντιστροφή.png[/attachment]

Με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής $S{A^2}$ ο πιο πάνω κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία

που εφάπτεται των δεδομένων κύκλων , άρα και ο κύκλος (E,S,D)

, Εφάπτεται των δεδομένων κύκλων

Επίσης αν οι κύκλοι $(O,R)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(K,r)\,$ δεν εφάπτονται και το

προκύπτει από τη τομή της

με το ριζικό άξονα των δύο αυτών κύκλων πάλι η πρόταση ισχύει ,

Η απόδειξη με αντιστροφή είναι η ίδια αλλά τώρα δύναμη αντιστροφής θα πάρω το\\

${k^2} = S{A^2}$ όπου

ένα εφαπτόμενο τμήμα σε κάποιο από τους δύο κύκλους

: Εχτρα με άνωστη απαφή.png (28.15 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 8:04 am
Επαφή με το άγνωστο.pngΟι κύκλοι και , εφάπτονται εξωτερικά στο και έστω

ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Η τέμνει τον στο και την

κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων στο , ενώ η τέμνει τον στο .

Δείξτε ότι ο κύκλος εφάπτεται των αρχικών και υπολογίστε την ακτίνα του .

: Επαφή με το άγνωστο.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Αρχικά όπως ο Νίκος. Το BEDC

είναι εγγράψιμο, οπότε ο κόκκινος κύκλος έχει διάμετρο

και εφάπτεται στο κύκλο (K).

Φέρνω την

εφαπτομένη του κύκλου (O),

σημείο της OK.

Επίσης, η

διέρχεται από το μέσο του $BC=2\sqrt{Rr}.$

$\displaystyle B\widehat EZ = \varphi \Leftrightarrow 90^\circ - Z\widehat ED = 90^\circ - \omega \Leftrightarrow Z\widehat ED = \omega ,$ που σημαίνει ότι ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται στην EZ,

άρα και στον (O).

$\displaystyle \frac{{AK}}{{MC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{r}{{\sqrt {Rr} }} = \frac{{2\sqrt {{x^2} + rx} }}{{2(r + x)}} \Leftrightarrow (R - r){x^2} + r(R - 2r)x - {r^3} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{r > 0}$ $\boxed{x=\frac{r^2}{R-r}}$

Επαφή με το άγνωστο

Επαφή με το άγνωστο

Re: Επαφή με το άγνωστο

Re: Επαφή με το άγνωστο

Μέλη σε σύνδεση