Διπλάσιο τμήμα !

[Μπάμπης Στεργίου]

Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.

Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .

thmima2019.PNG (37.21 KiB) Προβλήθηκε 1269 φορές

[JimNt.]

Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.

Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .

thmima2019.PNG

Δεν είναι άμεσο από την αρνητική ομοιοθεσία κέντρου G που στέλνει τον κύκλο Euler στον περιγεγγραμμένο;

[AlexNtagkas]

Προκριματικός μεγάλων 2018 χρειαζόταν αυτό το λήμμα

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλό μήνα σε όλους !

Είστε ...τσακάλια και σας θαυμάζω!

Όντως από τον προκριματικό του 18 απέσπασα το ερώτημα.

Η ομοιοθεσία είναι προφανώς η έμπνευση της άσκησης για τον προκριματικό.Είναι εξαιρετικό Λήμμα. Κάποτε είχαμε αρχίσει να μαζεύουμε χρήσιμα λήμματα, αλλά αυτή τη στιγμή δεν έχω χρόνο να τα αναζητήσω για να το προσθέσω και αυτό.

Ας αναζητήσουμε και μια απόδειξη χωρίς αυτή την εξαιρετική μέθοδο των μετασχηματισμών.

[george visvikis]

Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.

Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .

thmima2019.PNG

Καλό μήνα!

Αρκεί να δείξω ότι Αντιστρέφω λοιπόν το πρόβλημα και θεωρώ και ορίζω το ως το σημείο

τομής του με τη διάμεσο Τώρα, αρκεί να δείξω ότι το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου

Διπλάσιο τμήμα.Μπ.png (17.07 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

Φέρνω κι επειδή το είναι ισοσκελές τραπέζιο, θα είναι το μέσο του Άρα:

και το ζητούμενο έπεται.

[silouan]

Το λήμμα αυτό χρησιμοποιείται και για να λύσει το ακόλουθο πρόβλημα από την Shortlist της ΙΜΟ του 2011. (βλέπε πόστ 12 για παράδειγμα)
https://artofproblemsolving.com/communi ... 29p2739327

[Doloros]

Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.

Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .

thmima2019.PNG

Διπλάσιο τμήμα_Στεργίου_1.png (24.39 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

Αγνοώ προσωρινά το τμήμα . Ας είναι το άλλο σημείο τομής της με το κύκλο και το μέσο του .

Η τέμνει το ύψος στο ορθόκεντρο , του , και έτσι έχω ταυτόχρονα:

. Φέρνω τη διάμετρο και άρα στο το

είναι κι εδώ βαρύκεντρο , άρα η διέρχεται από το και προφανώς με