Παραλληλία στον περίκυκλο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA228=FB2823b.jpg (31.78 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Εστω τρίγωνο ABC

και

ο περίκυκλός του.

Κύκλος δια του

τέμνει τις AB, AC

και τον

στα

αντίστοιχα

Δεύτερος κύκλος δια του

τέμνει τις AB, AC

και τον

στα

αντίστοιχα.

Δείξτε ότι $XY \parallel BC$ , τότε και μόνο τότε αν, $BS \cdot BP=CQ \cdot CT$

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 28, 2019 8:23 pm
GEOMETRIA228=FB2823b.jpg
Εστω τρίγωνο και ο περίκυκλός του.

Κύκλος δια του τέμνει τις και τον στα αντίστοιχα

Δεύτερος κύκλος δια του τέμνει τις και τον στα αντίστοιχα.

Δείξτε ότι $XY \parallel BC$ , τότε και μόνο τότε αν, $BS \cdot BP=CQ \cdot CT$

Εστω ότι

Aπό το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AXST ,\hat{XAS}=\hat{XTS}=\phi ,\hat{AXS}=\hat{STC}=\theta ,$
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABXS,\hat{NXB}=\hat{ACB}=\sigma ,$
Συνεπώς $\hat{XSB}=\hat{XTC}=\theta +\phi ,\hat{XCT}=\hat{XCA}=\sigma -\phi ,$
Οπότε τα τρίγωνα XSB,XTC

Είναι όμοια

$\dfrac{SB}{TC}=\dfrac{XS}{XT}=\dfrac{XB}{XC},(1)$

$\hat{YQC}=180-\hat{AQY}=180-\hat{APY}=\hat{BPY}$ , εφόσον το τετράπλευρο APQY

είναι εγεγραμμένο σε κύκλο , ακόμη $\hat{QCY}=\hat{ABY}=\kappa$ , λογω του εγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCY

. Συνεπώς τα τρίγωνα YQC,YBP

είναι όμοια

$\dfrac{CQ}{BP}=\dfrac{QY}{PY}=\dfrac{YC}{BY}=\dfrac{XB}{BY},(2),YC=XB\Leftrightarrow BC//XY,$

Aπό το ισοσκελές τραπέζιο $XYCB,BY=XC, (1),(2)\Rightarrow \dfrac{QC}{BP}=\dfrac{SB}{CT}\Leftrightarrow QC.CT=SB.BP$

Γιάννης

Θα συνεχίσω με τη λύση στο αντίστροφο

Αντίστροφο

Ισχύει
$\dfrac{BS}{CT}=\dfrac{CQ}{BP},(*),$

Τα τρίγωνα XSB,XTC

είναι όμοια γιατί $\hat{XBS}=\hat{XCT}=\sigma -\phi ,\hat{XSB}=\hat{XTC}=\phi +\theta ,\hat{XAB}=\phi ,\hat{ACB}=\sigma ,\hat{AXS}=\theta$

Συνεπώς

$\dfrac{XS}{XT}=\dfrac{XB}{XC}=\dfrac{BS}{TC}=\dfrac{CQ}{BP},(1),$ ,λόγω της (*)

Από τα όμοια τρίγωνα

$YQC,YBP, \hat{YBP}=\hat{QCY}=\kappa ,\hat{YQC}=\hat{BRY}=180-t,\hat{ACY}= \kappa ,\hat{AQY}=t, \dfrac{QY}{PY}=\dfrac{YC}{BY}=\dfrac{QY}{BP},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{XS}{XT}=\dfrac{QY}{YP},(3), \hat{PYQ}=\hat{BAC}=\hat{TXS},(4), (3),(4)$
συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα

XST,QYP

είναι όμοια και

$\hat{XAB}=\hat{CAY}\Leftrightarrow XB=CY\Leftrightarrow XY//BC$

Παραλληλία στον περίκυκλο

Παραλληλία στον περίκυκλο

Re: Παραλληλία στον περίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση