Σελίδα 1 από 1

Σχέση από το πουθενά

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 29, 2019 11:19 pm
από JimNt.
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC, το ορθόκεντρο του H και το αντιδιαμετρικό του A, A' στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC. Η παράλληλη από το H ως προς την BC τέμνει την AB στο M και την AC στο I. Αν N είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων HA'A και AMI. Να αποδειχτεί AM\cdot IN= MN \cdot AI.

Re: Σχέση από το πουθενά

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 30, 2019 12:24 am
από Xriiiiistos
JimNt. έγραψε:
Τετ Μάιος 29, 2019 11:19 pm
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC, το ορθόκεντρο του H και το αντιδιαμετρικό του A, A' στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC. Η παράλληλη από το H ως προς την BC τέμνει την AB στο M και την AC στο I. Αν N είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων HA'A και AMI. Να αποδειχτεί AM\cdot IN= MN \cdot AI.
\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AC}\Leftrightarrow AM\cdot AC=AI\cdot AB=l

Αφού \widehat{BAH}=\widehat{A{AC}'} θεωρώ συμμετρική αντιστροφή πόλου A προς την διχοτόμο της \widehat{BAC} δύναμης l. I\rightarrow B,M\rightarrow C δηλαδή ο κύκλος A,M,I μετασχηματίζεται στην BC και η MI στον κύκλο A,B,C Άρα H\leftrightarrow A{}' και ο κύκλος A,A{}',H μετασχηματίζεται στην HA{}' .

Αν το N{}' είναι το αντίστροφο του N τότε N{}'\equiv HA{}'\cap BC ως αντίστροφα των κύκλων που ορίζουν το Ν. Το N{}' είναι γνωστό ότι είναι το μέσο της BC οπότε από την αντιστροφή έχουμε AN συμμετροδιάμεσος στο ABC. Αφού MI//BC η AN είναι συμμετροδιάμεσος και του AMI δηλαδή το AMNI είναι το αρμονικό τετράπλευρο οπότε AM\cdot IN=MN\cdot AI