Παραλληλίες από έκκεντρο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Παραλληλίες από έκκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Μάιος 30, 2019 8:16 pm

Πιθανότατα έναν φάκελο πιο κάτω (εξαρτάται από τη λύση :lol: ) αλλά σίγουρα ενδιαφέρον:
Έστω τρίγωνο ABC,K,L,M τα μέσα των BC,AC,AB και D,E,F οι προβολές του έκκεντρου σ'αυτές τις πλευρές αντίστοιχα.
Αν A'\equiv LM\cap EF,B'\equiv KM\cap DF,C'\equiv KL\cap DE νδο AA',BB',CC' παράλληλες.
Γενικεύστε και για τυχαίες Σεβιανές.
parallel l2emma.png
parallel l2emma.png (66.65 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Παραλληλίες από έκκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Μάιος 31, 2019 12:10 am

Λίγο βιαστικά:

Θα αποδείξω το πρόβλημα για τυχαίες σεβιανές AD, BE, CF.

Θα δείξουμε αρχικά πως τα σημεία B', A, C' είναι συνευθειακά.

Πρακτικά αρκεί οι διπλοί λόγοι των D(B', C'; A, C) και K(B', C'; A, C) να είναι ίσοι. Όμως, πράγματι D(B', C'; A, C)=D(F, E; A, C)=-1 και K(B', C'; A, C)=K(M, L; A, C)=-1 (εύκολα από σεβιανές-πλήρη τετράπλευρα).

Όμοια προκύπτουν και τα B, A', C' συνευθειακά.

Εύκολα τώρα: \dfrac{C'A}{AB'}=\dfrac{C'L}{LK}=\dfrac{C'A'}{A'B}, οπότε AA'//BB' και όμοια βγαίνει και για την CC'.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης