Καθετότητα
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Καθετότητα
Καλησπέρα. Βρήκα αυτή την άσκηση την οποία θέλω να μοιραστώ:
Έστω τρίγωνο . Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, το έγκεντρο του τριγώνου, και σημεία στις πλευρές αντίστοιχα ώστε . Έστω ευθεία που διέρχεται από το και ισχύει και που διέρχεται από το και ισχύει . Αν οι και τέμνονται στο να δειχτεί ότι .
Υπόδειξη: Για να μην υπάρχουν προβλήματα με το σχήμα καλύτερα η να είναι η μικρότερη πλευρά και τα να βρίσκονται στα εσωτερικά των .
Έστω τρίγωνο . Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, το έγκεντρο του τριγώνου, και σημεία στις πλευρές αντίστοιχα ώστε . Έστω ευθεία που διέρχεται από το και ισχύει και που διέρχεται από το και ισχύει . Αν οι και τέμνονται στο να δειχτεί ότι .
Υπόδειξη: Για να μην υπάρχουν προβλήματα με το σχήμα καλύτερα η να είναι η μικρότερη πλευρά και τα να βρίσκονται στα εσωτερικά των .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Καθετότητα
miltosk έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 14, 2019 9:29 pmΚαλησπέρα. Βρήκα αυτή την άσκηση την οποία θέλω να μοιραστώ:
Έστω τρίγωνο . Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, το έγκεντρο του τριγώνου, και σημεία στις πλευρές αντίστοιχα ώστε . Έστω ευθεία που διέρχεται από το και ισχύει και που διέρχεται από το και ισχύει . Αν οι και τέμνονται στο να δειχτεί ότι .
Υπόδειξη: Για να μην υπάρχουν προβλήματα με το σχήμα καλύτερα η να είναι η μικρότερη πλευρά και τα να βρίσκονται στα εσωτερικά των .
Το σχήμα της άσκησης που φαίνεται ωραία
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα
Πράγματι ενδειαφέρουσα καθετότητα ! Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με τις αντίστοιχα και οι ορθές προβολές των στην . Από σύμφωνα με το Stathis Koutras' Theorem θα είναι: .miltosk έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 14, 2019 9:29 pmΚαλησπέρα. Βρήκα αυτή την άσκηση την οποία θέλω να μοιραστώ:
Έστω τρίγωνο . Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, το έγκεντρο του τριγώνου, και σημεία στις πλευρές αντίστοιχα ώστε . Έστω ευθεία που διέρχεται από το και ισχύει και που διέρχεται από το και ισχύει . Αν οι και τέμνονται στο να δειχτεί ότι .
Υπόδειξη: Για να μην υπάρχουν προβλήματα με το σχήμα καλύτερα η να είναι η μικρότερη πλευρά και τα να βρίσκονται στα εσωτερικά των .
Επίσης από από το ίδιο θεώρημα προκύπτει ότι: . Από έχουμε:
Όμως και ομοίως οπότε από και συνεπώς και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Υ.Σ. Θα με ενδιέφερε ιδιαίτερα η λύση που έχει ο εισηγητής του προβλήματος
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα
Άλλη μία εμπνευσμένη εφαρμογή του Θεωρήματος Κούτρα.
Στάθη, σ' ευχαριστώ από καρδιάς.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Βρήκα μία διέξοδο με ορθολογικά τρίγωνα, αλλά κόλλησα σε ένα Λήμμα. Αν καταφέρω να το αποδείξω, θα βάλω την απόδειξη της πρότασης για να φανεί η σπουδαιότητα του ως άνω θεωρήματος για την λύση ( ενίοτε δύσκολων ) προβλημάτων καθετότητας.
Στάθη, σ' ευχαριστώ από καρδιάς.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Βρήκα μία διέξοδο με ορθολογικά τρίγωνα, αλλά κόλλησα σε ένα Λήμμα. Αν καταφέρω να το αποδείξω, θα βάλω την απόδειξη της πρότασης για να φανεί η σπουδαιότητα του ως άνω θεωρήματος για την λύση ( ενίοτε δύσκολων ) προβλημάτων καθετότητας.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Καθετότητα
Κύριε Βήττα με προλάβατε! Και εγώ με ορθολογικά τρίγωνα κινήθηκα ( και ), το λήμμα είναι ότι η ευθεία , όπου το περίκεντρο, είναι κάθετη στην . Ευτυχώς είναι γνωστό λήμμα:
Εδώ
Houston, we have a problem!
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα
Υπάρχουν και κάποιες αποδείξεις του λήμματος που αναφέρεις Διονύση και εδώΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 15, 2019 8:53 pm
Κύριε Βήττα με προλάβατε! Και εγώ με ορθολογικά τρίγωνα κινήθηκα ( και ), το λήμμα είναι ότι η ευθεία , όπου το περίκεντρο, είναι κάθετη στην . Ευτυχώς είναι γνωστό λήμμα:
Εδώ
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Καθετότητα
Να επισυμάνω ότι ως ονομάζω την ημιπερίμετρο του (δεν έπαιρνε το ελληνικό τ)Ας επισυνάψω λοιπόν και τη δική μου λύση. Η ιδέα δεν είναι διαφορετική θα προσπαθήσω δηλαδή να αποδείξω ότι .
Αν ισχύει αυτό τότε ισχύει και η συνθήκη καθετότητας
Αρχικά έχουμε συνεπώς από τη συνθήκη καθετότητας έχουμε ότι:
Ομοίως άρα:
Αφαιρώντας κατά μέλη τις λαμβάνουμε:
Όμως:
Αφαιρώντας κατά μέλη τις τότε λαμβάνουμε:
Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο :
Νόμος συνημιτόνων στο :
Αφαιρώντας τις κατά μέλη και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι λαμβάνουμε ότι:
Όμως:
Έτσι από τις η γίνεται:
Συνδυάζοντας τις σχέσεις η γίνεται:
Πρακτικά μένει να αποδείξουμε ότι:
Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Τότε από δύναμη σημείου:
Αφαιρώντας τις κατά μέλη έχουμε:
και το ζητούμενο έπεται.
Αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην αντικατάσταση των συνημιτόνων και στις δυνάμεις των σημείων επειδή τα θεωρώ δεδομένα θα παραθέσω ένα γενικό σχήμα. Θα προσπαθήσω να βρω την πηγή διότι πρόκειται για πολύ ωραίο άρθρο.
Αν ισχύει αυτό τότε ισχύει και η συνθήκη καθετότητας
Αρχικά έχουμε συνεπώς από τη συνθήκη καθετότητας έχουμε ότι:
Ομοίως άρα:
Αφαιρώντας κατά μέλη τις λαμβάνουμε:
Όμως:
Αφαιρώντας κατά μέλη τις τότε λαμβάνουμε:
Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο :
Νόμος συνημιτόνων στο :
Αφαιρώντας τις κατά μέλη και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι λαμβάνουμε ότι:
Όμως:
Έτσι από τις η γίνεται:
Συνδυάζοντας τις σχέσεις η γίνεται:
Πρακτικά μένει να αποδείξουμε ότι:
Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Τότε από δύναμη σημείου:
Αφαιρώντας τις κατά μέλη έχουμε:
και το ζητούμενο έπεται.
Αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην αντικατάσταση των συνημιτόνων και στις δυνάμεις των σημείων επειδή τα θεωρώ δεδομένα θα παραθέσω ένα γενικό σχήμα. Θα προσπαθήσω να βρω την πηγή διότι πρόκειται για πολύ ωραίο άρθρο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες