Μία διχοτόμος κι ένα μέσο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μία διχοτόμος κι ένα μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 09, 2019 10:25 am

Ένα μέσο.png
Ένα μέσο.png (15.48 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Το K είναι τυχαίο σημείο της διχοτόμου AD τριγώνου ABC (AB>AC). Οι BK, CK τέμνουν τις AC, AB

στα E, F αντίστοιχα. Η FE τέμνει την BC στο S ενώ η παράλληλη από το K στην BC τέμνει την FS στο M και

την AS στο L. α) Να δείξετε ότι το M είναι μέσο του KL. ...... β) Να δείξετε ότι η MA εφάπτεται στον περίκυκλο του ABC.

Επεξεργασία: Συμπλήρωσα και β) ερώτημα ..... Παρασ. 9 Αυγ. 2019, 11:39 a.m



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μία διχοτόμος κι ένα μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Αύγ 09, 2019 11:17 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 09, 2019 10:25 am
Ένα μέσο.png

Το K είναι τυχαίο σημείο της διχοτόμου AD τριγώνου ABC (AB>AC). Οι BK, CK τέμνουν τις AC, AB

στα E, F αντίστοιχα. Η FE τέμνει την BC στο S ενώ η παράλληλη από το K στην BC τέμνει την FS στο M και

την AS στο L. Να δείξετε ότι το M είναι μέσο του KL.
Καλημέρα!

Έχω την εντύπωση πως το αποτέλεσμα ισχύει για τυχαίες συντρέχουσες σεβιανές:

Έστω N\equiv AD\cap FE,από το τετράπλευρο AFKE έχουμε πως A,N,K,D αρμονική σημειοσειρά και έτσι αφού η δέσμη S(A,N,K,D) είναι αρμονική και KM παράλληλη στην ευθεία DS της δέσμης θα είναι M μέσο του KL,δεν χρησιμοποιήθηκε η διχοτόμος :?


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μία διχοτόμος κι ένα μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 09, 2019 11:39 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Αύγ 09, 2019 11:17 am


Καλημέρα!

Έχω την εντύπωση πως το αποτέλεσμα ισχύει για τυχαίες συντρέχουσες σεβιανές:
Έχεις δίκιο! :coolspeak:

Η αλήθεια είναι ότι υπήρχε και δεύτερο ερώτημα που ξέχασα να γράψω :wallbash:
Το συμπλήρωσα τώρα.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μία διχοτόμος κι ένα μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Αύγ 09, 2019 11:50 am

:coolspeak:

Για το δεύτερο ερώτημα:

ΈστωT\equiv BK\cap AS,από το τετράπλευρο BFEC είναι B,K,E,T αρμονική σημειοσειρά και αφού A(B,K,E,T) αρμονική δέσμη θα είναι B,D,C,S αρμονική σημειοσειρά ,άρα αφού AD εσωτερική διχοτόμος θα είναι AS εξωτερική δηλαδή \angle KAL=90^{\circ},

Αφού M μέσον του KL είναι AMK ισοσκελές ,έτσι \angle CAM=\angle CDA-\angle DAC=\angle B+\dfrac{\angle A}{2}-\dfrac{\angle A}{2}=\angle B άρα AM εφαπτόμενη του περίκυκλου του ABC


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης