Ημικυκλική πρόοδος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημικυκλική πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 21, 2019 7:51 am

Ημικυκλική  πρόοδος.png
Ημικυκλική πρόοδος.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Πάνω σε τμήμα AB=a θεωρώ σημείο S πλησιέστερο προς το B και γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο

ημικύκλια διαμέτρων AS , SB . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των ημικυκλίων ,

επανατέμνει τα δύο τόξα στα σημεία P,Q . Βρείτε τη θέση του S για την οποία τα τρία τμήματα

QN , NP , PM είναι - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικοί αριθμητικής προόδου .

Προαιρετικά : Εξετάστε και την περίπτωση της γεωμετρικής προόδου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημικυκλική πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 21, 2019 10:11 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 21, 2019 7:51 am
Ημικυκλική πρόοδος.pngΠάνω σε τμήμα AB=a θεωρώ σημείο S πλησιέστερο προς το B και γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο

ημικύκλια διαμέτρων AS , SB . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των ημικυκλίων ,

επανατέμνει τα δύο τόξα στα σημεία P,Q . Βρείτε τη θέση του S για την οποία τα τρία τμήματα

QN , NP , PM είναι - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικοί αριθμητικής προόδου .

Προαιρετικά : Εξετάστε και την περίπτωση της γεωμετρικής προόδου .
'Έστω R, r οι ακτίνες του μεγάλου και του μικρού ημικυκλίου αντίστοιχα και QN=x-t, NP=x, PM=x+t.
Ημικυκλική πρόοδος.png
Ημικυκλική πρόοδος.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
\displaystyle NP \cdot NM = N{O^2} - {R^2} \Leftrightarrow x\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}}  = 2{r^2} + 2Rr \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{2{r^2} + 2Rr}}{{\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}} }}}

\displaystyle MN \cdot MQ = M{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow 3x\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}}  = 2{R^2} + 2Rr \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{2{R^2} + 2Rr}}{{3\sqrt {2{R^2} + 2{r^2}} }}}


Από τις παραπάνω σχέσεις με απαλοιφή του x προκύπτει ότι R=3r δηλαδή \boxed{AS=\dfrac{3a}{4}}


Παρατήρηση: Το P είναι μέσο του MQ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης