Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10878
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 21, 2019 1:45 pm

Αξεπέραστη  διχοτόμηση τμήματος.png
Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Η διχοτόμος AD τριγώνου \displaystyle ABC τέμνει τον περίκυκλό του στο σημείο S . Έστω M

το μέσο της BS . Ο κύκλος (A,M,S) τέμνει την προέκταση της SC στο σημείο T .

Δείξτε ότι η ευθεία MT διέρχεται από το μέσο N του τμήματος DC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 797
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Οκτ 21, 2019 2:08 pm

Έστω N' το σημείο τομής της MT με την BC.

Από το εγγράψιμο AMST έχουμε ότι \widehat{ASC}=\widehat{AMN'} ή \widehat{ABC}=\widehat{AMN'}.

Οπότε το ABMN' είναι εγγράψιμο και συνεπώς \widehat{MAN'}=\widehat{MBN'}=\widehat{SBC}=\widehat{SAC}.

Προκύπτει λοιπόν πως \widehat{MAS}=\widehat{N'AC}.

Όμως εύκολα παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ABS και ADC είναι όμοια, επομένως αφού η AM είναι διάμεσος στο ABS, είναι και η AN' διάμεσος στο ADC, N' μέσο του DC.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Οκτ 22, 2019 12:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8439
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 21, 2019 6:13 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 1:45 pm
Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.pngΗ διχοτόμος AD τριγώνου \displaystyle ABC τέμνει τον περίκυκλό του στο σημείο S . Έστω M

το μέσο της BS . Ο κύκλος (A,M,S) τέμνει την προέκταση της SC στο σημείο T .

Δείξτε ότι η ευθεία MT διέρχεται από το μέσο N του τμήματος DC .
Έστω NC=x.
Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.png
Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος.png (20.88 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα που σχηματίζονται, όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, καθώς επίσης και οι μπλε. Τα τρίγωνα λοιπόν ABC, AMT είναι όμοια. Είναι ακόμα \displaystyle N\widehat AT = B\widehat CS = B\widehat AS = \frac{{\widehat A}}{2}. Άρα η AN είναι διχοτόμος του τριγώνου AMT, οπότε \boxed{\frac{{MN}}{{NT}} = \frac{{AM}}{{AT}} = \frac{c}{b}} (1)

\displaystyle  \bullet Μενέλαος στο MTS με διατέμνουσα \displaystyle \overline {BNC}: \displaystyle \frac{{CT}}{{CS}} \cdot \frac{{SB}}{{BM}} \cdot \frac{{MN}}{{NT}} = 1\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{CT}}{{CS}} = \frac{b}{{2c}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{CT}}{{ST}} = \frac{b}{{b + 2c}}} (2)

\displaystyle  \bullet Μενέλαος στο BSC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {MNT}:

\displaystyle \frac{{CT}}{{ST}} \cdot \frac{{MS}}{{MB}} \cdot \frac{{BN}}{{NC}} = 1\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)} \frac{b}{{b + 2c}} = \frac{{NC}}{{BN}} = \frac{x}{{a - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{ab}}{{2(b + c)}} = \frac{{DC}}{2}

Άρα το N είναι μέσο του DC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης