3=2

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10957
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

3=2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm

3=2.png
3=2.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Στο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , τα σημεία M , N, L είναι τα μέσα των πλευρών του , (O,R)

ο περίκυκλός του και (K,r) ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : \boxed{OM+ON+OL=R+r}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 424
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: 3=2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Οκτ 23, 2019 11:44 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm
3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , τα σημεία M , N, L είναι τα μέσα των πλευρών του , (O,R)

ο περίκυκλός του και (K,r) ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : \boxed{OM+ON+OL=R+r}
Καλησπέρα!

Είναι OM=R \sin \angle OBM=R\cos A άρα OM+ON+OL=R(\cos A+\cos B+\cos C) ,δηλαδή αρκεί R(\cos A+\cos B+\cos C)=R+r ή \cos A+\cos B+\cos C=1+\dfrac{r}{R}, το οποίο ισχύει : (αντιγράφω από εδώ)
\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos C=\dfrac{b^2+a^2-c^2}{2ba}
Άρα \cos A+\cos B+\cos C=\dfrac{ab^2+ac^2+a^2b+b^2c+c^2b+a^2c-a^3-b^3-c^3-2abc}{2abc}+1=\dfrac{\left ( a+b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a+c-b \right )\left ( b+c-a \right )}{2abc\left ( a+b+c \right )}+1=\dfrac{8E^2}{abc\left ( a+b+c \right )}=\dfrac{r}{R}+1
όπου χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι E=s\cdot r=\dfrac{abc}{4R}(s η ημιπερίμετρος)
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Πέμ Οκτ 24, 2019 7:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1696
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: 3=2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Οκτ 24, 2019 1:01 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm
3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , τα σημεία M , N, L είναι τα μέσα των πλευρών του , (O,R)

ο περίκυκλός του και (K,r) ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : \boxed{OM+ON+OL=R+r}

Με θ.Πτολεμαίου στο OMNC \Rightarrow bOM+aON=Rc

Με θ.Πτολεμαίου στο OLAN  \Rightarrow cON+bOL=Ra

Με θ.Πτολεμαίου στο  LOMB  \Rightarrow cOM+aOL=Rb

Με πρόσθεση έχουμε  b(OM+OL)+c(ON+OM)+a(ON+OL)=R(a+b+c) και ισοδύναμα

 \Leftrightarrow (a+b+c)(ON+OM+OL)=R(a+b+c)+aOM+bON+cOL

Αλλά  2(ABC)=aOM+bON+cOL=2 \tau r=(a+b+c)r οπότε

 (a+b+c)(OM+ON+OL)=(R+r)(a+b+c) \Rightarrow OM+ON+OL =R+r
3=2.png
3=2.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 3=2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 24, 2019 7:09 am

Ωραίες και οι δύο λύσεις .Του Μιχάλη Φανταστική :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8519
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 3=2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 24, 2019 10:02 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm
3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , τα σημεία M , N, L είναι τα μέσα των πλευρών του , (O,R)

ο περίκυκλός του και (K,r) ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : \boxed{OM+ON+OL=R+r}
Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση \boxed{{r_a} + {r_b} + {r_c} = 4R + r} (1), (r_a, r_b, r_c οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων)
3=2.png
3=2.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
Το MT ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου IDI_aE, άρα:

\displaystyle MT = \frac{{{r_a} - r}}{2} \Rightarrow OM = R - \frac{{{r_a} - r}}{2} = \frac{1}{2}(2R - {r_a} + r). Ομοίως, \displaystyle ON = \frac{1}{2}(2R - {r_b} + r),

\displaystyle OL = \frac{1}{2}(2R - {r_c} + r) και από την (1), \boxed{OM+ON+OL=R+r}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης