3=2

KARKAR · #1

: 3=2.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Στο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα σημεία M , N, L

είναι τα μέσα των πλευρών του , (O,R)

ο περίκυκλός του και (K,r)

ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : $\boxed{OM+ON+OL=R+r}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm
3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών του ,

ο περίκυκλός του και ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : $\boxed{OM+ON+OL=R+r}$

Καλησπέρα!

Είναι $OM=R \sin \angle OBM=R\cos A$ άρα $OM+ON+OL=R(\cos A+\cos B+\cos C)$ ,δηλαδή αρκεί $R(\cos A+\cos B+\cos C)=R+r$ ή $\cos A+\cos B+\cos C=1+\dfrac{r}{R}$ , το οποίο ισχύει : (αντιγράφω από εδώ)
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos C=\dfrac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$
Άρα $\cos A+\cos B+\cos C=\dfrac{ab^2+ac^2+a^2b+b^2c+c^2b+a^2c-a^3-b^3-c^3-2abc}{2abc}+1=\dfrac{\left ( a+b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a+c-b \right )\left ( b+c-a \right )}{2abc\left ( a+b+c \right )}+1=\dfrac{8E^2}{abc\left ( a+b+c \right )}=\dfrac{r}{R}+1$
όπου χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι $E=s\cdot r=\dfrac{abc}{4R}$ (

η ημιπερίμετρος)

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm
3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών του ,

ο περίκυκλός του και ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : $\boxed{OM+ON+OL=R+r}$

Με θ.Πτολεμαίου στο $OMNC \Rightarrow bOM+aON=Rc$

Με θ.Πτολεμαίου στο $OLAN \Rightarrow cON+bOL=Ra$

Με θ.Πτολεμαίου στο $LOMB \Rightarrow cOM+aOL=Rb$

Με πρόσθεση έχουμε b(OM+OL)+c(ON+OM)+a(ON+OL)=R(a+b+c)

και ισοδύναμα

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ON+OM+OL)=R(a+b+c)+aOM+bON+cOL$

Αλλά $2(ABC)=aOM+bON+cOL=2 \tau r=(a+b+c)r$ οπότε

$(a+b+c)(OM+ON+OL)=(R+r)(a+b+c) \Rightarrow OM+ON+OL =R+r$

: 3=2.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

#4

Ωραίες και οι δύο λύσεις .Του Μιχάλη Φανταστική

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2019 7:55 pm
3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών του ,

ο περίκυκλός του και ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : $\boxed{OM+ON+OL=R+r}$

Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση $\boxed{{r_a} + {r_b} + {r_c} = 4R + r}$ (1),

(

οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων)

: 3=2.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Το

ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου IDI_aE,

άρα:

$\displaystyle MT = \frac{{{r_a} - r}}{2} \Rightarrow OM = R - \frac{{{r_a} - r}}{2} = \frac{1}{2}(2R - {r_a} + r).$ Ομοίως, $\displaystyle ON = \frac{1}{2}(2R - {r_b} + r),$

$\displaystyle OL = \frac{1}{2}(2R - {r_c} + r)$ και από την (1),

$\boxed{OM+ON+OL=R+r}$

3=2

3=2

Re: 3=2

Re: 3=2

Re: 3=2

Re: 3=2

Μέλη σε σύνδεση