Απρόσμενη καθετότητα
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Απρόσμενη καθετότητα
Δίνεται τρίγωνο με ορθόκεντρο και περίκεντρο .Έστω τα ίχνη των υψών του τριγώνου στις αντίστοιχα. Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο . Να αποδειχθεί ότι .
τελευταία επεξεργασία από Κω.Κωνσταντινίδης σε Κυρ Οκτ 27, 2019 4:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Απρόσμενη καθετότητα
;Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 27, 2019 3:43 pmΔίνεται τρίγωνο με ορθόκεντρο . Έστω τα ίχνη των υψών του τριγώνου στις αντίστοιχα. Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο . Να αποδειχθεί ότι .
Re: Απρόσμενη καθετότητα
(Μια straightforward λύση):
Ας είναι η τομή .
Από αρμονικές,η διχοτομεί την .
Πάλι από αρμονικές,αν η τομή της με την εκ του παράλληλη στην θα είναι .().
Έτσι αρκεί όμοια.
Αρκεί δηλαδή δηλαδή αν η τομή της εφαπτομένης του στο με την αρκεί
.
Τελικά από 2ο Θ.Διαμέσων καταλήγει σε το οποίο είναι απλό
Ας είναι η τομή .
Από αρμονικές,η διχοτομεί την .
Πάλι από αρμονικές,αν η τομή της με την εκ του παράλληλη στην θα είναι .().
Έτσι αρκεί όμοια.
Αρκεί δηλαδή δηλαδή αν η τομή της εφαπτομένης του στο με την αρκεί
.
Τελικά από 2ο Θ.Διαμέσων καταλήγει σε το οποίο είναι απλό
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Καλησπέρα Κωνσταντίνε!Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 27, 2019 3:43 pmΔίνεται τρίγωνο με ορθόκεντρο και περίκεντρο .Έστω τα ίχνη των υψών του τριγώνου στις αντίστοιχα. Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο . Να αποδειχθεί ότι .
Μια με περισσότερες πράξεις:
Έστω το μέσο του και .Επειδή αρκεί ή .
Επειδή (αρμονική τετράδα) είναι
Επίσης
Άρα τελικά αρκεί
που ισχύει άρα πράγματι
.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Γενίκευση:
Έστω τρίγωνο και ύψος.Έστω σημείο του ύψους και .Αν η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και το ισογώνιο συζηγές σημείο του ως προς το τρίγωνο να δειχθεί ότι
Έστω τρίγωνο και ύψος.Έστω σημείο του ύψους και .Αν η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και το ισογώνιο συζηγές σημείο του ως προς το τρίγωνο να δειχθεί ότι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Καλησπέρα !
Αν κάποιος βρει λίγο χρόνο, ας δει το εξής :
Πώς προκύπτει η καθετότητα στο 3ο μήνυμα στο θέμα :
https://artofproblemsolving.com/communi ... 5p12457430
Αν κάποιος βρει λίγο χρόνο, ας δει το εξής :
Πώς προκύπτει η καθετότητα στο 3ο μήνυμα στο θέμα :
https://artofproblemsolving.com/communi ... 5p12457430
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Μπάμπη και λοιποί φίλοι, καλησπέρα.Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Τρί Δεκ 10, 2019 8:38 pmΚαλησπέρα !
Αν κάποιος βρει λίγο χρόνο, ας δει το εξής :
Πώς προκύπτει η καθετότητα στο 3ο μήνυμα στο θέμα :
https://artofproblemsolving.com/communi ... 5p12457430
Ίσως κάτι να μου ξεφεύγει, αλλά νομίζω ότι λείπουν αρκετά βήματα τεκμηρίωσης.
Έστω ο περίκυκλος του εγγραψίμου τετραπλεύρου με διάμετρο και έστω το σημείο όπου είναι ο περίκυκλος του δοσμένου τριγώνου .
Από έχουμε ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .
Από το περνάει και η ευθεία , όπου είναι το μέσον της πλευράς , από και και , λόγω του παραλληλογράμμου , από ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά και έστω το σημείο . Η δέσμη είναι αρμονική, λόγω και και τεμνόμενη από την ευθεία μας δίνει την αρμονική σημειοσειρά .
Η ευθεία τώρα, που συνδέει το σημείο , επαφής της εφαπτομένης του κύκλου από το σημείο με το σημείο , ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία , ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και άρα ισχύει
Από και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Για την ολοκλήρωση της απόδειξης , σύμφωνα με το σκεπτικό της λύσης του padlock, στην παραπομπή που δίνει ο Μπάμπης πιο πάνω, η εγγραψιμότητα του τετραπλέυρου προκύπτει άμεσα από τα εγγράψιμα τετράπλευρα , με το μέσον της πλευράς , από όπου έχουμε .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Ωραία γενίκευση για όποιον ενδιαφέρεται.ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τρί Δεκ 10, 2019 6:14 pmΓενίκευση:
Έστω τρίγωνο και ύψος.Έστω σημείο του ύψους και .Αν η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και το ισογώνιο συζυγές σημείο του ως προς το τρίγωνο να δειχθεί ότι
Απ' όλα έχει ο μπαξές. Αρμονικότητα, Ισογωνιότητα, Deasarques και Διπλούς λόγους.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Την αφήνω για λίγες μέρες και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί. Ίσως να αποδεικνύεται και με πιο στοιχειώδη μέσα.
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Καλησπέρα και από μένα.
Μια λύση που προέκυψε στην προσπάθεια να αποφύγω τα κινούμενα σημεία : Ας είναι
Τότε από το πλήρες τετράπλευρο το είναι το μέσο του .
Είναι .Συνεπώς το είναι η τομή των ,
από όπου προκύπτει εύκολα πως συνευθειακά.Αν ορίσω ,το θα είναι το ορθόκεντρο του ,δηλαδή κάθετες,δηλαδή αρκεί .
Έστω τώρα .Από αντίστροφο Θαλή,είναι αρκετό να δειχτεί πως .
Αυτό προκύπτει ως εξής:
Ισχύει λόγω συμμετρίας ως προς την διχοτόμο της .
Εγώ θέλω το οποίο έπεται από την ισότητα διπλών λόγων (λόγω συμμετρίας όπως και πριν) ...
Μια λύση που προέκυψε στην προσπάθεια να αποφύγω τα κινούμενα σημεία : Ας είναι
Τότε από το πλήρες τετράπλευρο το είναι το μέσο του .
Είναι .Συνεπώς το είναι η τομή των ,
από όπου προκύπτει εύκολα πως συνευθειακά.Αν ορίσω ,το θα είναι το ορθόκεντρο του ,δηλαδή κάθετες,δηλαδή αρκεί .
Έστω τώρα .Από αντίστροφο Θαλή,είναι αρκετό να δειχτεί πως .
Αυτό προκύπτει ως εξής:
Ισχύει λόγω συμμετρίας ως προς την διχοτόμο της .
Εγώ θέλω το οποίο έπεται από την ισότητα διπλών λόγων (λόγω συμμετρίας όπως και πριν) ...
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Απρόσμενη καθετότητα
Ας δούμε μία άλλη απόδειξη της γενίκευσης, βασισμένη στο αποτέλεσμα της καθετότητας για την περίπτωση του ορθόκεντρου του ( αρχικό πρόβλημα ).
Έστω τυχόν σημείο και το ισογώνιο σημείο του ως προς το και έστω τα σημεία και .
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο έστω της ευθείας , ως το αρμονικό συζυγές του , ως προς τα σημεία .
Από το σημείο περνάει επίσης και η ευθεία , ως διαγώνια στο πλήρες τετράπλευρο , αφού .
Επειδή τα σημεία και και είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά και άρα, η ευθεία περνάει από το σημείο , όπου ώστε και ώστε .
Οι δέσμες με και συνευθειακά τα σημεία και και έχουν ίσους Διπλούς λόγους και άρα, ισχύει
Αλλά, όπου .
Οι δέσμες , με , έχουν ίσες τις γωνίες που σχηματίζουν οι ομόλογες ακτίνες τους ( λόγω της ισογωνιότητας των σημείων και ) και άρα έχουν ίσους Διπλούς λόγους και επομένως ισχύει
Από και
Από και επειδή ισχύει και και , συμπεραίνεται ότι ισχύει και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Έστω τυχόν σημείο και το ισογώνιο σημείο του ως προς το και έστω τα σημεία και .
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο έστω της ευθείας , ως το αρμονικό συζυγές του , ως προς τα σημεία .
Από το σημείο περνάει επίσης και η ευθεία , ως διαγώνια στο πλήρες τετράπλευρο , αφού .
Επειδή τα σημεία και και είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά και άρα, η ευθεία περνάει από το σημείο , όπου ώστε και ώστε .
Οι δέσμες με και συνευθειακά τα σημεία και και έχουν ίσους Διπλούς λόγους και άρα, ισχύει
Αλλά, όπου .
Οι δέσμες , με , έχουν ίσες τις γωνίες που σχηματίζουν οι ομόλογες ακτίνες τους ( λόγω της ισογωνιότητας των σημείων και ) και άρα έχουν ίσους Διπλούς λόγους και επομένως ισχύει
Από και
Από και επειδή ισχύει και και , συμπεραίνεται ότι ισχύει και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες