Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Νοέμ 23, 2019 3:47 pm

Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) και ας είναι M, η προβολή του περίκεντρου O επί της ευθείας EZ, όπου E\equiv AB\cap CD και Z\equiv AD\cap BC. Για μεταβλητό σημείο P επί της διαγωνίου BD, θεωρούμε τον περίκυκλο έστω (K) του τριγώνου \vartriangle PMB ο οποίος τέμνει τις ευθείες AB,\ BC στα σημεία R,\ T αντιστοίχως και τον περίκυκλο έστω (L) του τριγώνου \vartriangle PMD ο οποίος τέμνει τις ευθείες CD,\ AD στα σημεία T,\ Y, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι τα σημεία R,\ S,\ T,\ Y ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Υπενθυμίζεται ότι το σημείο M ταυτίζεται με το Σημείο Miquel του ABCD και η ευθεία OM περνάει από το σημείο τομής των διαγωνίων του ( γνωστό αποτέλεσμα στο εγγράψιμο τετράπλευρο ).
Συνημμένα
f 181_t 65720.PNG
Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.
f 181_t 65720.PNG (26.83 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Νοέμ 23, 2019 4:22 pm

Γειά σας κ. Βήττα.
Το πρόβλημα ισχύει για τυχαίο (πλήρες) τετράπλευρο ABCD.EZ με  M το σημείο  Miquel του.(Αν επιπλέον το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο,το σημείο Miquel ταυτίζεται με την προβολή του O στην EZ-γνωστή πρόταση).
Παρατήρηση 1.
Τα RSME,SCTM,MTYZ είναι εγγράψιμα.
Απόδειξη:
Είναι πχ. ERM\angle=BPM\angle=MSE\angle και ομοίως και για το MTYZ.
Για το SCTM,είναι MSC\angle=180-ESM\angle=180-ERM\angle=180-BTM\angle κλπ.
Για τις συνευθειακότητες τώρα,επειδή M,C,D,Z ομοκυκλικά (σημείο Miquel) από Σπειροειδή ομοιότητα των  MCDZ, MPDY λαμβάνουμε SMC\angle=YMZ\angle.Όμως YMZ\angle=YTZ\angle και SMC\angle=STC\angle από τις εγγραψιμότητες κτλ.
Σημείωση:Τελικά,το σημείο M είναι το σημείο Miquel και των DYTC.ZS,BRSC.ET.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Νοέμ 24, 2019 1:47 pm

Γεια σου Μίνο και σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου και την λύση σου. Δεν το έψαξα να δω ότι ισχύει σε τυχόν τετράπλευρο και όχι απαραίτητα εγγράψιμο.

Η αλήθεια είναι ότι δεν βλέπω ( σκούριασα ) την σπειροειδή ομοιότητα που αναφέρεις, αλλά η ζητούμενη συνευθειακότητα προκύπτει άμεσα από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ERSM,\ MSCT,\ MTYZ συνδυασμένα με τα εγγράψιμα MCBE,\ MCDZ, λόγω του Θεωρήματος Miquel και τα εγγράψιμα MSDY,\ MTBR.

Πράγματι, από \angle MST = \angle MCT\equiv \angle MCZ = \angle MDZ\equiv \angle MDY = \angle MSY έχουμε ότι τα σημεία S,\ T,\ Y είναι συνευθειακά και ομοίως για τα σημεία R,\ S,\ T.

Να είσαι καλά και ελπίζω κάποια στιγμή να βρεθούμε και από κοντά.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Εγγράψιμο τετράπλευρο και συνευθειακά σημεία.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Νοέμ 24, 2019 5:49 pm

vittasko έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 1:47 pm
από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ERSM,\ MSCT,\ MTYZ συνδυασμένα με τα εγγράψιμα MCBE,\ MCDZ, λόγω του Θεωρήματος Miquel και τα εγγράψιμα MSDY,\ MTBR.

Πράγματι, από \angle MST = \angle MCT\equiv \angle MCZ = \angle MDZ\equiv \angle MDY = \angle MSY έχουμε ότι τα σημεία S,\ T,\ Y είναι συνευθειακά και ομοίως για τα σημεία R,\ S,\ T.
Αυτό εννοούσα ναι :coolspeak:

Και γω το ελπίζω :D


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες