Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11710
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 07, 2019 12:30 pm

Ασύμμετρη  ισεμβαδικότητα.png
Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Ο έγκυκλος (O) του τριγώνου \displaystyle ABC , εφάπτεται των πλευρών AB , AC στα σημεία D,E αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των CO , BO τέμνουν την ευθεία DE στα S,T . Δείξτε ότι : (ASOT)=(OBC) .



Λέξεις Κλειδιά:
Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Δεκ 07, 2019 2:03 pm

Πολύ διδακτική άσκηση!
Αρχικά θα δείξουμε το εξής λήμμα:
Λήμμα
Δίνεται τρίγωνο \Delta ABC με έγκεντρο I και ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των AB,AC στα D,E αντίστοιχα. Αν BO\bigcap DE\equiv T τότε \angle CTB=\frac{\pi }{2}
Απόδειξη
Είναι \angle AED=\frac{\pi }{2}-\frac{\angle A}{2}=\pi -(\frac{\pi }{2}+\frac{\angle A}{2})=\pi -\angle BOC=\angle SOB=\angle TOC άρα το τετράπλευρο TEOC είναι εγγράψιμο. Αφού \angle OEC=\frac{\pi }{2} θα είναι και \angle OTC=\angle BTC=\frac{\pi }{2}
Επιστροφή στην άσκηση.
'Επεται ότι \angle BSC=\angle BTC=\frac{\pi }{2}
'Εχουμε\Delta STC\sim \Delta AOB άρα \frac{ST}{CT}=\frac{BO}{AO}\Leftrightarrow AO*ST=BO*CT.
Αφού \Delta SOB\sim \Delta OTC είναι \frac{BO}{BS}=\frac{OC}{CT}\Leftrightarrow BS*CO=TC*BO=AO*ST
Έτσι \frac{AO*ST}{BS*OC}=1\Leftrightarrow (ASOT)=(OBC)
Σημειώσεις:1. Έχουμε ότι \angle SOB=\angle TOC και άρα τα ορθογώνια \Delta SOB,\Delta TOC είναι όμοια.
2.\angle ETC=\angle ETO+\angle OTC=\angle ECO+\frac{\pi }{2}=\frac{\angle C}{2}+\frac{\pi }{2}=\angle AOB και \angle DBO=\angle DSO=\angle AOB=\angle ESC. Επομένως \Delta AOB\sim \Delta STC
3. Το ASOT έχει κάθετες διαγωνίους, άρα (ASOT)=\frac{AO*ST}{2} ενώ (OBC)=\frac{OC*BS}{2}.
τελευταία επεξεργασία από Κω.Κωνσταντινίδης σε Σάβ Δεκ 07, 2019 5:59 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Δεκ 07, 2019 2:11 pm

Καλησπέρα!

Λίγο διαφορετικά:

Έστω τα παράκεντρα I_{B},I_{C}

Είναι I_{B}I_{C}\perp OA\Rightarrow I_{B}I_{C}//ST.

Όμως τα τετράπλευρα AOBI_{C},AOCI_{B} είναι εγγράψιμα, διότι \angle OAI_{B}=\angle OAI_{C}=\angle OBI_{C}=\angle OCI_{B}=90^{\circ}

Αρα \angle STO=\angle I_{C}I_{B}O=\angle ACO=\angle BCO

και το BSTC εγγράψιμο.

Εστω M το σημείο τομής των OA, ST.

Αρκεί ν.δ.ό.

(ASOT)=(BOC)\Leftrightarrow ST\cdot OA=BC\cdot r\Leftrightarrow \dfrac{ST}{BC}=\dfrac{r}{OA}\Leftrightarrow \dfrac{OM}{OE}=\dfrac{OE}{OA}\Leftrightarrow OE^2=OM\cdot OA, που ισχύει (γνωστή ιδιότητα ορθογωνίου τριγώνου).


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9575
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 07, 2019 5:39 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 07, 2019 12:30 pm
Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα.pngΟ έγκυκλος (O) του τριγώνου \displaystyle ABC , εφάπτεται των πλευρών AB , AC στα σημεία D,E αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των CO , BO τέμνουν την ευθεία DE στα S,T . Δείξτε ότι : (ASOT)=(OBC) .
Από το εγγράψιμο BSTC τα τρίγωνα OST, OCB είναι όμοια και \displaystyle \frac{{ST}}{a} = \frac{{OT}}{{OC}} = \sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow ST = a\sin \frac{A}{2}
Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα.png
Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Θα χρησιμοποιήσω τον τύπο \displaystyle OA = 4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} και παρόμοια για OB, OC, όπου R η ακτίνα του περίκυκλου.

\displaystyle (ASOT) = \frac{1}{2}(OA)(ST) = \frac{1}{2}\left( {4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} \right)\left( {2R\sin A\sin \frac{A}{2}} \right) \Leftrightarrow

\boxed{(ASOT) = 4{R^2}\sin A\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} (1)

\displaystyle (OBC) = \frac{1}{2}(OB)(OC)\sin \left( {90^\circ  + \frac{A}{2}} \right) = \left( {8{R^2}{{\sin }^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} \right)\cos \frac{A}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{(ASOT)=(OBC)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης