Καθετότητα

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Capture.PNG (47.77 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

Έστω το περίκεντρο τριγώνου και
Αν η συμμετροδιάμεσος του τέμνει τον ( στο να δείξετε ότι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Την έβαλα εδώ γιατί η λύση που έχω είναι λίγο σύνθετη,αν προκύψει κάτι απλό ....

[JimNt.]

Ας είναι το αντιδιαμετρικό του και το σημείο τομής της με τον κύκλο. Ισχύει άρα προβάλλοντας από το στον κύκλο αρμονικό. Επομένως, συμμετροδιάμεσος, αυτό που θέλαμε.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Ας είναι το αντιδιαμετρικό του και το σημείο τομής της με τον κύκλο. Ισχύει άρα προβάλλοντας από το στον κύκλο αρμονικό. Επομένως, συμμετροδιάμεσος, αυτό που θέλαμε.

Κάτι τέτοιο εννονούσα με το απλό ,[είχα ξεχάσει την γνωστή ιδιότητα του αρμονικού τετραπλεύρου ότι αν τυχόν σημείο του κύκλου που ορίζει τότε η δέσμη είναι αρμονική]

[Doloros]

Capture.PNG

Έστω το περίκεντρο τριγώνου και
Αν η συμμετροδιάμεσος του τέμνει τον ( στο να δείξετε ότι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Την έβαλα εδώ γιατί η λύση που έχω είναι λίγο σύνθετη,αν προκύψει κάτι απλό ....

Αφού δώσω τα εύσημα στο εισηγητή και στον λύτη ας δούμε λίγο διαφορετικά( και με ταλαιπωρία) το θέμα.

Προσωρινά «αγνοώ» τη συμμετροδιάμεσο του που διέρχεται από το .

Φέρνω την ευθεία που τέμνει την στο σημείο και τον κύκλο στο .

Η ευθεία αυτή , έστω , είναι η πολική του ως προς τις δύο ευθείες .

Η τετράδα : είναι αρμονική με συνέπεια η πολική του , ευθεία

ως προς το κύκλο να διέρχεται από το .

Ας είναι τώρα το άλλο σημείο τομής του κύκλου με την ..

Καθετότητα Φωτιάδη_1.png (36.29 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές

Φέρνω τώρα την ευθεία και τέμνει την στο και την ευθεία στο .

Επειδή η πολική του ως προς τον κύκλο διέρχεται από το και η πολική του

θα διέρχεται από το κι αφού διέρχεται από το είναι η ευθεία δηλαδή η .

Επομένως η θα είναι κάθετη στη , άρα και μεσοκάθετος σ αυτή, οπότε οι

είναι εφαπτομένες του κύκλου , η τετράδα είναι αρμονική

και η ευθεία η συμμετροδιάμεσος από το του .

Επειδή η γωνία : δηλαδή η βαίνει σε ημικύκλιο θα είναι ορθή.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Capture1.PNG (53.25 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Καλές Γιορτές
Ευχαριστώ για τις λύσεις ,παραθέτω την προσέγγισή μου:

Λήμμα:

Έστω τρίγωνο και οι προβολές των στις αντίστοιχα.Αν η τέμνει την στο και το ορθόκεντρο του τότε η είναι κάθετη στην διάμεσο του .
Απόδειξη: Η δέσμη είναι αρμονική ( η προβολή του στην ) και οι ευθείες είναι κάθετες στις :την παράλληλη από το στην (έστω ) ,στην ,στην αντίστοιχα .Επειδή όμως και η δέσμη είναι αρμονική από γνωστή πρόταση πρέπει κάθετες.
Επιστροφή στην άσκηση:
Αν αντιδιαμετρικό του και .Επειδή το ανήκει ατην πολική του αλλά και του η είναι η πολική του .Όμως πρέπει το να ανήκει στην πολική του και από La Hire το ανήκει στην πολική του δηλαδή την .Όμοια ανήκει και το στην .Επειδή
το είναι εγγράψιμο και αφού θα είναι .Στο τα είναι ύψη και ορθόκεντρο άρα από το λήμμα θα είναι η κάθετη στην .