Συντρέχεια κύκλων

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 654
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Συντρέχεια κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 31, 2019 7:56 pm

197.PNG
197.PNG (31.76 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Καλησπέρα και Καλό 2020!

Έστω τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O .Έστω CD,BF ύψη και E η τομή της DF με την BC.Θεωρούμε P το συμμετρικό του H ως προς το O και ορίζουμε w_A τον περιγεγραμμένο κύκλο του AEP.Όμοια ορίζουμε τους κύκλους w_B,w_C.
Να αποδειχθεί οι κύκλοι w_A,w_B,w_C συντρέχουν (σε σημείο διαφορετικό του P)
Η επιλογή φακέλου οφείλεται στην δική μου προσέγγιση ίσως προκύψει κάτι απλούστερο



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συντρέχεια κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Δεκ 31, 2019 9:43 pm

Ας είναι D,E,F οι προβολές του ορθοκέντρου στις BC, AB, AC και X,Y,Z τα σημεία τομής των αντιπαραλλήλων με τις BC,AB,AC. Θεωρώντας ομοιοθεσία με κέντρο H και λόγο 1/2 προκύπτει (γίνεται αντιληπτό πιο εύκολα) ότι \angle{XAP}=90 \rad. Έτσι το κέντρο του κύκλου w1 βρίσκεται στο μέσο του XP και αντίστοιχα των άλλων στα μέσα των YP και ZP. Είναι γνωστό όμως πως X,Y,Z συνευθειακά. Άρα και τα αντίστοιχα μέσα θα είναι συνευθειακά, δηλαδή τα κέντρα. Συνεπώς, w1,w2,w3 ομοαξονικοί αφού έχουν ήδη ένα κοινό σημείο.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 654
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συντρέχεια κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 31, 2019 9:55 pm

JimNt. έγραψε:
Τρί Δεκ 31, 2019 9:43 pm
Ας είναι D,E,F οι προβολές του ορθοκέντρου στις BC, AB, AC και X,Y,Z τα σημεία τομής των αντιπαραλλήλων με τις BC,AB,AC. Θεωρώντας ομοιοθεσία με κέντρο H και λόγο 1/2 προκύπτει (γίνεται αντιληπτό πιο εύκολα) ότι \angle{XAP}=90 \rad. Έτσι το κέντρο του κύκλου w1 βρίσκεται στο μέσο του XP και αντίστοιχα των άλλων στα μέσα των YP και ZP. Είναι γνωστό όμως πως X,Y,Z συνευθειακά. Άρα και τα αντίστοιχα μέσα θα είναι συνευθειακά, δηλαδή τα κέντρα. Συνεπώς, w1,w2,w3 ομοαξονικοί αφού έχουν ήδη ένα κοινό σημείο.
:coolspeak: Το σχήμα έχει και άλλα ενδιαφέροντα π.χ αν ο w_A τέμνει τον (A,B,C) στο Q τότε η AQ διχοτομεί την BC .


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συντρέχεια κύκλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Δεκ 31, 2019 10:21 pm

Ναι όντως. :clap2:


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης