Σχέση πλευρών

#1

: Σχέση πλευρών...png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα ενός τριγώνου ABC.

Να βρεθεί μία σχέση

ανάμεσα στις πλευρές a, b, c,

αν είναι γνωστό ότι τα σημεία B, I, G, C

είναι ομοκυκλικά.

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Ισχύει $\angle BGC=\angle BIC=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}$

Από ν. συνημιτόνων

$a^2=BG^2+CG^2-2BG\cdot CGcos(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})\Leftrightarrow 9a^2=4m_{b}^2+4m_{c}^2+8m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}$ .

ΕίναI

$(BGC)=\dfrac{(ABC)}{3}\Leftrightarrow BG\cdot CG\cdot sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})=\dfrac{1}{3}bcsinA\Leftrightarrow \dfrac{4}{9}m_{b}m_{c} cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{2}{3}bcsin\dfrac{A}{2}cos\dfrac{A}{2}$

$\Leftrightarrow m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{2}bcsin^2\dfrac{A}{2}\Leftrightarrow m_{b} m_{c}sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{4}bc(1-cosA)$

$\Leftrightarrow m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{4}bc(1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc})\Leftrightarrow \Leftrightarrow 8m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}=3a^2+6bc-3b^2-3c^2$

Αρα

$9a^2=4m_{b}^2+4m_{c}^2+8m_{_{b}}m_{c}sin\dfrac{A}{2}\Leftrightarrow$

$9a^2=(2a^2+2c^2-b^2)+(2a^2+2b^2-c^2)+(3a^2+6bc-3b^2-3c^2)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc$

Τελικά

.

Έκανα κάποιες διορθώσεις γιατί είχα θεωρήσει εσφαλμένα ότι $sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})=-cos\dfrac{A}{2}$ , ενώ είναι στην πραγματικότητα
$sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})=cos\dfrac{A}{2}$ .
Ευχαριστώ τον κύριο Γιώργο Βισβίκη για την επισήμανση του λάθους.

ksofsa · #3

Ακόμα μία λύση:

Εστω $I_{a}$ παράκεντρο .

Το πεντάγωνο $BIGCI_{a}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο

.

Με βάση το θεώρημα του Leibniz για το κέντρο του κύκλου έχω:

$3KG^2+\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2+KB^2+KC^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2-KI^2\Leftrightarrow$

$\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=AI\cdot AI_{a}$

Όμως τα τρίγωνα $AIB, AI_{a}C$ ομοια και άρα $AI\cdot AI_{a}=bc$

Τελικά $\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=bc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc$ .

Για το θεώρημα του Leibniz μπορείτε να δείτε εδώ https://demonstrations.wolfram.com/AGeo ... OfLeibniz/

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 06, 2020 1:32 pm
Σχέση πλευρών...png
είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα ενός τριγώνου Να βρεθεί μία σχέση

ανάμεσα στις πλευρές αν είναι γνωστό ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

: 223.PNG (41.25 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Αλλιώς,

Αν

το κέντρο του κύκλου (B,C,I)

τότε το

ως γνωστών θα είναι το μέσο του τόξου

του κύκλου (A,B,C)

που δεν περιέχει το

.
Έστω ότι και το

(βαρύκεντρο) ανήκει στον κύκλο.Θεωρώ

σημείο στον κύκλο (B,C,I)

ώστε $\angle CBG=\angle ABL\Leftrightarrow \angle LBG=\angle IBG$ .
Άρα

το μέσο του τόξου

του κύκλου (B,C,I)

δηλαδή

Αφού λοιπόν

μεσοκάθετος του

και

συνευθειακά θα είναι AG=AL

και $\Delta ALI=\Delta AIG$ θα είναι το σημείο Lemoine του ABC

.
Αφού όμως είναι γνωστό ότι $AL=\dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}s_A$ όπου s_A

η

- συμμετροδιάμεσος πρέπει $\dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}s_A=\dfrac{2}{3}m_A\Leftrightarrow \dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}\cdot \dfrac{2bc}{b^2+c^2}m_A=\dfrac{2}{3}m_A\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc$

Γενικότερα αν το (τυχαίο σημείο) ανήκει στον τότε ανήκει και το ισογώνιο συζυγές του.

ksofsa · #5

Καλημέρα!

Και αλλιώς:

Εστω $I_{a}$ παράκεντρο και

ο κύκλος $(BIGCI_{a})$ .

Εστω ότι η διάμεσος

τέμνει τον κύκλο ξανά στο

.

Τα τρίγωνα $AIB, AI_{a}C$ όμοια και άρα $AI\cdot AI_{a}=bc$ .

Από θ. δύναμης σημείου έχω

$MB\cdot MC=MG\cdot MK\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{4}=\dfrac{m_{a}}{3}\cdot MK\Leftrightarrow MK=\dfrac{3a^2}{4m_{a}}$

Από θεώρημα δύναμης σημείου έχω επίσης

$AI\cdot AI_{a}=AG\cdot AK\Leftrightarrow bc=\dfrac{2}{3}m_{a}(m_{a}+MK)\Leftrightarrow bc=\dfrac{2}{3}m_{a}(m_{a}+\dfrac{3a^2}{4m_{a}})$

$\Leftrightarrow 3bc=2m_{a}^2+\dfrac{3}{2}a^2\Leftrightarrow 3bc=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{2}+\dfrac{3a^2}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3bc$

Τελικά

#6

Ευχαριστώ τον Κώστα

για τις πολλές ευρηματικές λύσεις του και φυσικά τον Πρόδρομο

για τη
φαντεζί λύση του με τη συμμετροδιάμεσο. Ας δούμε άλλη μία με την ίδια τεχνική που χρησιμοποιήθηκε εδώ #3
Γράφω την τελική εξίσωση παραλείποντας τη διαδικασία που περιγράφεται στην παραπομπή.

: Σχέση πλευρών.β.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

$\displaystyle |\Delta _{(K)}^G - \Delta _{(O)}^G| = 2OK \cdot GG' \Leftrightarrow \frac{1}{9}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = 2R\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{bc}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{a^2+b^2+c^2=3bc}$

Σχέση πλευρών

Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Μέλη σε σύνδεση