Εύκαμπτοι αριθμοί

#1

Στο επίπεδο σχεδιάζουμε άπειρες παράλληλες ευθείες, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Ένας φυσικός αριθμός $n \geqslant 3$ θα λέγεται εύκαμπτος αν υπάρχει κανονικό

-γωνο τέτοιο, ώστε όλες οι κορυφές του να ανήκουν στις δοσμένες ευθείες και κάθε δοσμένη ευθεία να περιέχει το πολύ μια κορυφή του

-γώνου. Να βρείτε όλους τους εύκαμπτους αριθμούς.

#2

Θα δείξουμε ότι εύκαμπτοι είναι μόνο οι αριθμοί n=3,4,6

. Οι κατασκευές δεν είναι δύσκολες, οπότε προχωράω να δείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες. Θα γράφω $A_0,A_1,\ldots,A_{n-1}$ για τις κορυφές του πολυγώνου.

Έστω n=2m+1

. Από συμμετρία οι $A_0A_{m+1}$ και A_1A_m

είναι παράλληλες. Έστω A_0'

το σημείο τομής της ευθείας που περνάει από το A_0

με την $A_nA_{n+1}$ . Ορίζω A_1'

ανάλογα.

Τα τρίγωνα $A_0A_0'A_{m+1}$ και A_1A_1'A_m

είναι όμοια οπότε

$\displaystyle \frac{A_mA_1'}{A_{m+1}A_0'} = \frac{A_mA_1}{A_{m+1}A_0} = \frac{2R\sin\left( \frac{\pi (m-1)}{2m+1}\right)}{2R\sin\left( \frac{\pi m}{2m+1}\right)} = \frac{\cos\left(3\vartheta\right)}{\cos\left(\vartheta\right)} = 4\cos^2{\vartheta}-3 = 2\cos(2\vartheta)-1$

όπου

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου και $\vartheta = \frac{\pi m}{4m+2}$ .

Αν όμως

η απόσταση μεταξύ διαδοχικών παράλληλων ευθειών τότε τα A_mA_1'

και $A_{m+1}A_0'$ είναι πολλαπλάσια του

, οπότε καταλήγουμε ότι ο αριθμός $\cos(\frac{\pi m}{2m+1})$ είναι ρητός. Από το θεώρημα του Niven, πρέπει m=1

, δηλαδή

.

Αν

, με $m \geqslant 3$ εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο:

Οι $A_0A_{1}$ και $A_1A_{m-1}$ είναι παράλληλες. Έστω A_0'

το σημείο τομής της ευθείας που περνάει από το A_0

με την $A_{m-1}A_{m}$ . Ορίζω A_1'

ανάλογα. Τότε ο

$\displaystyle \frac{A_{m-1}A_1'}{A_{m}A_0'} = \frac{A_{m-1}A_1}{A_{m}A_0} = \frac{2R\sin\left( \frac{\pi (m-2)}{2m}\right)}{2R} = \cos\left( \frac{\pi}{m}\right)$

είναι ρητός και παίρνουμε m=3

, δηλαδή

.

Εύκαμπτοι αριθμοί

Εύκαμπτοι αριθμοί

Re: Εύκαμπτοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση