Σταθερό γινόμενο και τόπος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9585
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερό γινόμενο και τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 02, 2020 1:37 pm

Σταθερό γινόμενο και τόπος.png
Σταθερό γινόμενο και τόπος.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές
Στη διάμετρο AB ενός κύκλου (O, r) θεωρούμε ένα σταθερό σημείο S ώστε AS=d και έστω DE μία μεταβλητή

χορδή που διέρχεται από το S. Η εφαπτομένη του κύκλου στο A τέμνει τις BD, BE στα M, N αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο MDEN είναι εγγράψιμο.

β) Να δείξετε ότι το γινόμενο AM\cdot AN είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της χορδής DE.

γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του περίκεντρου K του τετραπλεύρου MDEN.



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Πέμ Απρ 02, 2020 4:38 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Απρ 02, 2020 1:37 pm
Σταθερό γινόμενο και τόπος.png
Στη διάμετρο AB ενός κύκλου (O, r) θεωρούμε ένα σταθερό σημείο S ώστε AS=d και έστω DE μία μεταβλητή

χορδή που διέρχεται από το S. Η εφαπτομένη του κύκλου στο A τέμνει τις BD, BE στα M, N αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο MDEN είναι εγγράψιμο.

β) Να δείξετε ότι το γινόμενο AM\cdot AN είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της χορδής DE.

γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του περίκεντρου K του τετραπλεύρου MDEN.
Το α) βγαίνει με απλό angle-chasing.
Είναι
\angle{ANE}=\angle{AEN}-\angle{EAN}=90-\angle{EAN}=\angle{ADB}-\angle{ADE}=\angle{BDE},άρα MDEN εγγράψιμο.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Απρ 02, 2020 5:17 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Απρ 02, 2020 1:37 pm
Σταθερό γινόμενο και τόπος.png
Στη διάμετρο AB ενός κύκλου (O, r) θεωρούμε ένα σταθερό σημείο S ώστε AS=d και έστω DE μία μεταβλητή

χορδή που διέρχεται από το S. Η εφαπτομένη του κύκλου στο A τέμνει τις BD, BE στα M, N αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο MDEN είναι εγγράψιμο.

β) Να δείξετε ότι το γινόμενο AM\cdot AN είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της χορδής DE.

γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του περίκεντρου K του τετραπλεύρου MDEN.
Αφήνω το α αφού το έγραψε ο Δημήτρης πιο πάνω

β) Είναι \rm AN=AB\tan \angle ABN=AB\cdot \dfrac{AE}{EB} και ομοίως \rm AM=AB\cdot \dfrac{AD}{ED}.
Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι \rm AB^2\cdot \dfrac{AE\cdot AD}{EB\cdot BD} σταθερό.Αφού \rm AB σταθερό και από γνωστό λήμμα είναι \rm \dfrac{AE\cdot AD}{EB\cdot BD}=\dfrac{AS}{SB}=stathero το ζητούμενο έπεται.
γ)Η δύναμη του \rm A ως προς τον \rm (M,D,E,N) είναι \rm AN\cdot AM=AB^2\cdot \dfrac{AS}{SB}=4r^2\dfrac{d}{2r-d} άρα αν \rm R η ακτίνα του \rm (M,D,E,N) τότε \rm R^2-AK^2=4r^2\dfrac{d}{2r-d}.Επίσης \rm BD\cdot BM=AB^2=4r^2 άρα \rm KB^2-R^2=4r^2.
Είναι \rm KB^2-KA^2=R^2+4r^2-R^2+4r^2\dfrac {d}{2r-d}=\dfrac{8r^3}{2r-d}.Αν λοιπόν \rm K' η προβολή του \rm K στην \rm AB τότε από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων θα είναι \rm \dfrac{8r^3}{2r-d}=2\cdot 2r \cdot OK' από όπου \rm OK'=\dfrac{2r^2}{2r-d} .Είναι λοιπόν \rm K' σταθερό που δείχνει πως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η κάθετη στην \rm AB που απέχει από το \rm O απόσταση \rm \dfrac{2r^2}{2r-d} προς το \rm A.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης