Τόπος σημείου τομής

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τόπος σημείου τομής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 05, 2020 2:09 pm

Τόπος σημείου τομής.png
Τόπος σημείου τομής.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές
Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Πάνω στις ημιευθείες AB, DC θεωρώ τα σημεία S, T αντίστοιχα,

ώστε AS=DT. Αν οι AT, DS τέμνονται στο M, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του M.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1897
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τόπος σημείου τομής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 07, 2020 9:40 am

Παραπλανητικό θέμα. Η BC κ.λπ. δεν χρειάζεται. Προτείνω το εξής:

Αρκεί να δείξουμε ότι τρείς τυχαίες θέσεις του σημείου M είναι συνευθειακές.

Πραγματικά, αν πάρουμε τα σημεία S_1, S_2, S_3 και T_1, T_2,T_3, τότε τα αντίστοιχα σημεία M_1,M_2,M_3 είναι συνευθειακά, αφού οι δέσμες (A.DT_1 T_2T_3) και (D.AS_1 S_2S_3) έχουν κοινή ακτίνα την AD και, προφανώς, έχουν ίσους διπλούς λόγους.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 770
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τόπος σημείου τομής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 5:55 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 05, 2020 2:09 pm
Τόπος σημείου τομής.png
Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Πάνω στις ημιευθείες AB, DC θεωρώ τα σημεία S, T αντίστοιχα,

ώστε AS=DT. Αν οι AT, DS τέμνονται στο M, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του M.
322.PNG
322.PNG (21 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές
Θα προσδιορίσω την ευθεία που κινείται το \rm M .Δεν βάζω τα \rm B,C στο σχήμα.Έστω \rm E\equiv AS\cap DT και \rm R σημείο της ημιευθείας \rm DE ώστε \rm DR=AE.Όταν τα \rm S,T τείνουν στο άπειρο γίνεται \rm M η τομή των παραλλήλων από τα \rm A,D στις DE,AE αντίστοιχα.Όπως βλέπουμε και εδώ το \rm M θα κινείται στην \rm RL που είναι και παράλληλη στην εσωτερική διχοτόμο της \rm \angle AED.Δεν διατρέχει όμως όλη την ευθεία,ο γεωμετρικός τόπος είναι το τμήμα \rm QL με \rm Q\equiv AD\cap RL

Έγινε διόρθωση τυπογραφικού,ευχαριστώ τον κ.Σταύρο
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Κυρ Ιουν 07, 2020 7:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1897
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τόπος σημείου τομής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 07, 2020 6:23 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιουν 07, 2020 5:55 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 05, 2020 2:09 pm
Τόπος σημείου τομής.png
Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Πάνω στις ημιευθείες AB, DC θεωρώ τα σημεία S, T αντίστοιχα,

ώστε AS=DT. Αν οι AT, DS τέμνονται στο M, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του M.
322.PNG
Θα προσδιορίσω την ευθεία που κινείται το \rm M .Δεν βάζω τα \rm B,C στο σχήμα.Έστω \rm E\equiv AS\cap DT και \rm R σημείο της ημιευθείας \rm DE ώστε \rm DE=AE.Όταν τα \rm S,T τείνουν στο άπειρο γίνεται \rm M η τομή των παραλλήλων από τα \rm A,D στις DE,AE αντίστοιχα.Όπως βλέπουμε και εδώ το \rm M θα κινείται στην \rm RL που είναι και παράλληλη στην εσωτερική διχοτόμο της \rm \angle AED.Δεν διατρέχει όμως όλη την ευθεία,ο γεωμετρικός τόπος είναι το τμήμα \rm QL με \rm Q\equiv AD\cap RL
Όπως πήρες DR=AE πάρε και AQ= DE και έχεις την RQ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τόπος σημείου τομής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 08, 2020 2:06 pm

Λίγο διαφορετικά από το φαινόμενο Πρόδρομος :clap2:
Η παράλληλη από το A στην DT τέμνει την παράλληλη από το D στην AS στο L και η LM τέμνει την AD στο Q. Τέλος οι

AL, DS τέμνονται στο E και οι AT, DL στο F. Προφανώς το L είναι σταθερό. Αρκεί να δείξω πως και το Q είναι σταθερό.
Τόπος σημείου τομής.β.png
Τόπος σημείου τομής.β.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Από Ceva στο ALD: \displaystyle \frac{{AE}}{{EL}} \cdot \frac{{LF}}{{FD}} \cdot \frac{{DQ}}{{QA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{DL}} \cdot \frac{{AL}}{{DT}} \cdot \frac{{DQ}}{{QA}} = 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{AS = DT} \frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DL}}{{AL}} = c (σταθερό)

Η LQ είναι λοιπόν διχοτόμος της A\widehat LD.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5435
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Τόπος σημείου τομής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιουν 10, 2020 8:56 am

Επειδή είδα το πρόβλημα, μου άρεσε σκέφτηκα για άλλη λύση εκτός μετρικής Γεωμετρίας αλλά και να δούμε και άλλες μεθοδολογίες επίλυσης για το θέμα αυτό είτε εφαρμοζόμενες και σε άλλα θέματα. Οπότε και μόνο για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού έχουμε:

Επειδή είδα το πρόβλημα, μου άρεσε, οπότε και μόνο για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού έχουμε: Οι κύκλοι c, e, d, f διέρχονται από το ίδιο σημείο Q. Είναι το σημείο Miguel ή αποδεικνύεται σε «δύο γραμμές». Είναι καθαρό ότι οι κύκλοι c,e είναι ίσοι. Θεωρούμε τις LM, MN που είναι παράλληλες αντίστοιχα στις OT, OS, αφού \angle MNQ = \angle MTQ = \angle \frac{O}{2} = \angle MAQ = \angle MLN. που τέμνουν τις OS,OT αντίστοιχα στα σημεία C,E.
Παρατηρούμε ότι \angle ASM = \angle NQD \Rightarrow MA = DN,\;\angle E = \angle C = \angle O, \angle OAM = \angle OQT = \angle NDE, επομένως τα τρίγωνα MAC,NQD είναι ίσα. Έτσι παίρνουμε AC = DE \Rightarrow MN = ME - EN = OC - OE = OA - OD\;ct. Όμως ισχύει \angle MNL = \angle NLM = \angle \frac{O}{2}, που οδηγεί στο ότι το τρίγωνο MNL διατηρεί το μέγεθός του. Άρα και το ύψος του από την κορυφή M διατηρεί το μέτρο του. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο M κινείται σε σταθερή ευθεία u.
δδδδ.png
δδδδ.png (81.61 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες