Διπλάσια γωνία 12

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 12.png (7.97 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Στην πλευρά

ορθής γωνίας $\widehat{xOy}$ , βρίσκονται σημεία

και

. Να προσδιορισθεί

σημείο

της

, τέτοιο ώστε : $\widehat{ASB}=2\widehat{ABS}$ . Εφαρμογή : OA=3 , AB=9

. Πηγή :

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 03, 2021 8:59 am Διπλάσια γωνία 12.pngΣτην πλευρά ορθής γωνίας $\widehat{xOy}$ , βρίσκονται σημεία και . Να προσδιορισθεί

σημείο της , τέτοιο ώστε : $\widehat{ASB}=2\widehat{ABS}$ . Εφαρμογή : . Πηγή :

Με $OA=a, \, OB=b, \,OS=s$ έχουμε

$\dfrac {s}{a}= \tan 3\theta = \dfrac {3\tan \theta - \tan ^3 \theta }{1- 3\tan ^2 \theta}= \dfrac {\dfrac {3s}{b} - \left (\dfrac {s}{b} \right )^3 }{1- 3 \left (\dfrac {s}{b} \right )^2 }$

Οδηγεί σε δευτεροβάθμια (χωρίς όρο

αλλά μόνο

) από όπου $s = b\sqrt { \dfrac{3a-b} {a-3b}}$ . Κατασκευάσιμο αλλά μας δίνει και περιορισμούς στα a,b

.

Στο αριθμητικό παράδειγμα όπου a=3,b=12

, βρίσκουμε $s= \dfrac {12 \sqrt {11}}{11}$

Edit: Με πρόλαβε ο Νίκος. Υπόψη ότι βρήκαμε την ίδια απάντηση (ας φαίνεται διαφορετική) γιατί το το δικό μου είναι ίσο με του δικού του συμβολισμού.

#4

Αλλιώς (με ίδιο αποτέλεσμα φυσικά). Για OA=a, OB=b, OS=x.

: Διπλάσια γωνία.12.png (8.81 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Λόγω της διαπλάσιας γωνίας είναι $\displaystyle A{B^2} = A{S^2} + AS \cdot SB,$ απ' όπου

${(b - a)^2} = {a^2} + {x^2} + \sqrt {{a^2} + {x^2}} \sqrt {{b^2} + {x^2}}$ και μετά τις πράξεις $\boxed{x = b\sqrt {\frac{{b - 3a}}{{3b - a}}} }$

Να σημειώσω εδώ ότι για να έχει λύση το πρόβλημα πρέπει $\boxed{b>3a}$

KARKAR · #5

Κι εγώ την τριγωνομετρική λύση σκέφθηκα . Η αντιμετώπιση του Γιώργου φαντάζει πιο γεωμετρική .

Πολύ θα θέλαμε να ξέρουμε ποια ήταν η σκέψη του προτείναντος την άσκηση το 1963

. Βλέπε εδώ.

#6

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 03, 2021 12:23 pm Κι εγώ την τριγωνομετρική λύση σκέφθηκα . Η αντιμετώπιση του Γιώργου φαντάζει πιο γεωμετρική .

Πολύ θα θέλαμε να ξέρουμε ποια ήταν η σκέψη του προτείναντος την άσκηση το . Βλέπε εδώ.

Αφού δόθηκε η πηγή, δίνω τη γεωμετρική κατασκευή του Αριστείδη Πάλλα.

: Διπλάσια γωνία.12β.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Αν

είναι το μέσο του OB,

τότε το

ορίζεται ως το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του

με το ημικύκλιο διαμέτρου

κλπ.

Διπλάσια γωνία 12

Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Μέλη σε σύνδεση