Συντρέχεια σε τετράπλευρο!

MAnTH05 · #1

Έστω τετράπλευρο ABCD

τέτοιο ώστε να υπάρχει κύκλος

που να εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών του.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία $AI_{1}$ και η ευθεία $AI_{2}$ συντρέχουν, όπου $I_{1}$ , $I_{2}$ τα έγκεντρα των τριγώνων ABD

και

αντίστοιχα.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

MAnTH05 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 10, 2021 8:19 pm
Έστω τετράπλευρο τέτοιο ώστε να υπάρχει κύκλος που να εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών του.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία $AI_{1}$ και η ευθεία $AI_{2}$ συντρέχουν, όπου $I_{1}$ , $I_{2}$ τα έγκεντρα των τριγώνων και αντίστοιχα.

Θα αποδείξω για αρχή ένα λήμμα.
Έστω τρίγωνο ABC

, ο

παραγεγραμμένος κέντρου I_A

εφάπτεται της

στο

και της

στο

. Επίσης

μέσον της

,

μέσον της

,

μέσον της

και

μέσον της

.
Τότε

συνευθειακά και I_A,S,O

συνευθειακά.

: 34.PNG (30.55 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές

Απόδειξη:
Παίρνουμε

έγκεντρο του ABC

,

το σημείο επαφής του έγκυκλου με την

και

το αντιδιαμετρικό του

στον αντίστοιχο κύκλο,

μέσον

.
Η

ως γνωστών θα περνά από το αντιδιαμετρικό του

στον έγκυκλου και

θα είναι μέσον και του

.
Λόγω ομοιοθεσίας τα A,H,P

συνευθεικά. Έτσι $KL\parallel AH$ και $KI_A\parallel HP$ οπότε το πρώτο συμπέρασμα έπεται.
Πάμε στο δεύτερο, τα σημεία J,K,S

θα είναι συνευθειακά ( $JK,JS\parallel AC$ ) οπότε εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\triangle JKL$ αρκεί να αποδείξουμε ότι $\dfrac{OL}{OJ}\cdot\dfrac{SJ}{SK}\cdot\dfrac{I_AK}{I_AL}=1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \dfrac{CF}{CB}\cdot\dfrac{NA}{NC}\cdot\dfrac{I_AI}{I_AA}=1\overset{CF=CN}\Leftrightarrow \dfrac{NA}{CB}\cdot\dfrac{NT}{NA}=1\Leftrightarrow NT=CB$ που ισχύει αφού $NT=CN+CT=BH+CH=BC\,\,\, \blacksquare$
Πάμε στο πρόβλημα:

: 33.PNG (53.86 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές

Εδώ πέρα:

είναι τα σημεία επαφής των προεκτάσεων των πλευρών του ABCD

με τον κύκλο.
H,M

μέσα των διαγωνίων BD,AC

αντίστοιχα. Σαφώς οι διχοτόμοι στην εκφώνηση τέμνονται στο κέντρο

του κύκλου οπότε πρέπει να αποδείξω ότι H,M,O

συνευθειακά.
Έστω $X\equiv AC\cap BD, W=BC\cap AD, Y=CD\cap AB$ και L,U,K,S,I

μέσα των τμημάτων AY,DY,DT,AD,AR

αντίστοιχα.
Εφαρμόζω το λήμμα στο τρίγωνο ADY

και παίρνω O,U,I

συνευθειακά και O,K,L

συνευθειακά.
Επίσης λόγω μέσων τα M,S,I,L

συνευθεικά, καθώς επίσης και τα H,S,U,K

.
Το

είναι περιγράψιμο έτσι ως γνωστών X,R,T

συνευθειακά (και X,P,Q

αλλά δεν χρειάζεται)
Τώρα (M,S,I,L)=A(M,S,I,L)=(C,D,R,Y)=X(C,D,R,Y)=

οπότε η

θα περνά και αυτή από το

και τελειώσαμε.

Δείξαμε λοιπόν ότι
Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου ανήκει στην ευθεία του τετραπλεύρου!

Συντρέχεια σε τετράπλευρο!

Συντρέχεια σε τετράπλευρο!

Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο!

Μέλη σε σύνδεση