Συντρέχεια σε τετράπλευρο!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Συντρέχεια σε τετράπλευρο!
Έστω τετράπλευρο τέτοιο ώστε να υπάρχει κύκλος που να εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών του.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία και η ευθεία συντρέχουν, όπου , τα έγκεντρα των τριγώνων και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία και η ευθεία συντρέχουν, όπου , τα έγκεντρα των τριγώνων και αντίστοιχα.
Ματθαίος Κουκλέρης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο!
Θα αποδείξω για αρχή ένα λήμμα.
Έστω τρίγωνο , ο παραγεγραμμένος κέντρου εφάπτεται της στο και της στο . Επίσης μέσον της , μέσον της , μέσον της και μέσον της .
Τότε συνευθειακά και συνευθειακά.
Απόδειξη:
Παίρνουμε έγκεντρο του , το σημείο επαφής του έγκυκλου με την και το αντιδιαμετρικό του στον αντίστοιχο κύκλο, μέσον .
Η ως γνωστών θα περνά από το αντιδιαμετρικό του στον έγκυκλου και θα είναι μέσον και του .
Λόγω ομοιοθεσίας τα συνευθεικά. Έτσι και οπότε το πρώτο συμπέρασμα έπεται.
Πάμε στο δεύτερο, τα σημεία θα είναι συνευθειακά () οπότε εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο αρκεί να αποδείξουμε ότι
που ισχύει αφού
Πάμε στο πρόβλημα:
Εδώ πέρα: είναι τα σημεία επαφής των προεκτάσεων των πλευρών του με τον κύκλο.
μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα. Σαφώς οι διχοτόμοι στην εκφώνηση τέμνονται στο κέντρο του κύκλου οπότε πρέπει να αποδείξω ότι συνευθειακά.
Έστω και μέσα των τμημάτων αντίστοιχα.
Εφαρμόζω το λήμμα στο τρίγωνο και παίρνω συνευθειακά και συνευθειακά.
Επίσης λόγω μέσων τα συνευθεικά, καθώς επίσης και τα .
Το είναι περιγράψιμο έτσι ως γνωστών συνευθειακά (και αλλά δεν χρειάζεται)
Τώρα
οπότε η θα περνά και αυτή από το και τελειώσαμε.
Δείξαμε λοιπόν ότι
Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου ανήκει στην ευθεία του τετραπλεύρου!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης